Нанокварцевые часы

Все точки кольца находятся на одном расстоянии от точки на оси, поэтому потенциал считается сразу. Для устойчивости вне оси подумайте о линиях поля, входящих в малый цилиндр вокруг центра.

1) \(\varphi=kQ/\sqrt{R^2+z^2}\);  2) \(E=kQz/(R^2+z^2)^{3/2}\);  3) \(E\approx kQz/R^3\);  4) \(f=\dfrac1{2\pi R}\sqrt{\dfrac{ekQ}{mR}}\approx2{,}0\times10^{12}\text{ Гц}\);  5) неустойчиво.

1. Все заряды кольца находятся на одинаковом расстоянии от точки \(P\), \(l=\sqrt{R^2+z^2}\). Поэтому, согласно принципу суперпозиции, потенциал есть сумма потенциалов всех зарядов: \[\varphi=kQ/\sqrt{R^2+z^2}.\]

2. \(E=-\dfrac{d\varphi}{dz}=kQz/(R^2+z^2)^{3/2}\).

3. При \(|z|\ll R\) можно приближённо считать \((R^2+z^2)^{3/2}\approx R^3\), так что \(E\approx kQz/R^3\).

4. Из второго закона Ньютона \(m\ddot z=-e\,kQz/R^3\), то есть \(\omega^2=ekQ/(mR^3)\) и \[f=\frac1{2\pi R}\sqrt{\frac{ekQ}{mR}}\approx2{,}0\times10^{12}\text{ Гц}.\]

5. В начале координат зарядов нет; следовательно, линии электрического поля не могут там ни начинаться, ни заканчиваться. Рассмотрим крошечный соосный цилиндр, охватывающий начало координат. Линии поля выходят из цилиндра через его нижнее и верхнее основания (потому что есть электрическое поле \(E\approx kQz/R^3\)). Значит, должны быть линии поля, входящие в цилиндр через его боковую поверхность. Это означает радиальную силу отталкивания, действующую на электрон, находящийся на этой поверхности, то есть неустойчивость.

   Замечание. Тем же способом можно доказать теорему: электростатические равновесия всегда неустойчивы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.