Давление в космическом корабле

Во вращающейся системе отсчёта на слой газа действует центробежная сила; запишите баланс сил на слой между \(r\) и \(r+\mathrm dr\) и выразите плотность через давление по уравнению состояния.

1) \(p(r)=p_0\exp\!\left(\dfrac{\mu\omega^2}{2RT}\,r^2\right)\);  2) \(p(h)=p_0\exp\!\left(-\dfrac{\mu g}{RT}\,h\right)\).

i) Рассмотрим слой воздуха между \(r\) и \(r+\mathrm dr\) с площадью сечения \(A\) и массой \(m\). Во вращающейся системе отсчёта баланс сил даёт \[A\bigl(p(r+\mathrm dr)-p(r)\bigr)=m\omega^2r.\] Масса связана с плотностью соотношением \(m=A\rho(r)\,\mathrm dr\). Используя уравнение состояния идеального газа, \[pV=nRT\ \Longrightarrow\ \rho(r)=\frac mV=\frac{m}{nRT}\,p(r)=\frac{\mu}{RT}\,p(r),\] получаем, объединяя два уравнения, следующее уравнение для давления: \[\frac{p(r+\mathrm dr)-p(r)}{\mathrm dr}=p'(r)=\frac{\mu\omega^2}{RT}\,r\,p(r).\] Его можно решить разделением переменных: \[\int\frac{\mathrm dp}{p}=\int\frac{\mu\omega^2}{RT}\,r\,\mathrm dr, \qquad \ln p-\ln p_0=\frac{\mu\omega^2}{2RT}\,r^2 .\]

Отсюда находим \[p(r)=p_0\exp\!\left(\frac{\mu\omega^2}{2RT}\,r^2\right).\]

ii) На этот раз баланс сил имеет вид \[A\bigl(p(h+\mathrm dh)-p(h)\bigr)=-mg.\] Соответствующее уравнение для давления \[p'(h)=-\frac{\mu g}{RT}\,p(h)\] имеет решение \[p(h)=p_0\exp\!\left(-\frac{\mu g}{RT}\,h\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.