Дракон

Отражение от поверхности воды видно, пока свет, идущий от дракона к поверхности, испытывает на ней полное внутреннее отражение. Предельный угол падения даёт предельный ход луча через наклонную стенку чаши; для верхней границы угол нужно связать с положением самой высокой точки дракона и его отражения на фотографии.

1) около \(45{,}0^\circ\) ниже горизонта;  2) около \(10{,}2^\circ\) выше горизонта.

i) Прежде всего заметим, что диаметр чаши и высота дракона дают несовместимые результаты. Расстояние между двумя изображениями дракона сравнительно невелико по сравнению с высотой дракона, так что высота уровня воды почти равна 3 см, то есть высоте дракона. Но если сравнить уровень воды с диаметром чаши, он получается около 7 см. Значит, неверен либо диаметр чаши, либо высота дракона. Пренебрегая этой несогласованностью, приведём ниже метод решения.

Дракон сравнительно велик и закрывает большую часть дна чаши. Поэтому при взгляде снизу следует ожидать, что часть лучей, отражённых от горизонтальной верхней поверхности воды, всегда попадает на дракона. Так происходит, пока лучи падают на поверхность воды под углом меньше угла полного внутреннего отражения. Затем лучи проходят сквозь поверхность воды, и отражение дракона мы больше не видим. По рисунку ниже для случая полного внутреннего отражения имеем \[n\sin\gamma_1=\sin 90^\circ=1,\qquad \gamma_1=\arcsin\frac1n\approx 48{,}8^\circ.\]

Так как нормали к верхней поверхности воды и к боковой стенке чаши образуют угол \(60^\circ\), имеем \[\gamma_1+\gamma_2=60^\circ\ \Longrightarrow\ \gamma_2\approx 11{,}2^\circ.\] Из закона Снеллиуса \[\sin\gamma_3=n\sin\gamma_2\ \Longrightarrow\ \gamma_3=\arcsin(n\sin\gamma_2),\qquad \gamma_3\approx 15{,}0^\circ.\] Так как нормаль к боковой стенке чаши составляет с горизонтом \(30^\circ\), угол вышедшего из чаши луча равен \(30^\circ+\gamma_3\approx 45{,}0^\circ\) ниже горизонта.

ii) Прежде всего отметим, что все приведённые ниже расчёты не очень точны, и небольшое отклонение от заданных чисел допустимо, так как стенка чаши слегка искривлена (угол между горизонтом и стенкой строго не постоянен).

По размеру и форме дракона предположим, что самая высокая точка дракона находится примерно посередине чаши. Последняя точка, которую мы увидим при увеличении угла обзора, — это изображение самой высокой точки дракона; обозначим её \(O\). Линейкой измерим размер дракона и расстояние от самой высокой точки дракона до той же точки на отражённом изображении; получаем 4,5 см и 0,45 см. Реальная высота дракона равна 3 см, поэтому реальное расстояние между драконом и его отражением равно \(2h=\dfrac{0{,}45}{4{,}5}\cdot 3\text{ см}=0{,}3\) см. Два изображения находятся на равных расстояниях от поверхности воды, так как они являются отражениями друг друга. Поэтому расстояние от самой высокой точки дракона до поверхности воды равно \(h=0{,}15\) см.

Высоту \(H\) поверхности воды можно измерить по фотографии, измерив линейкой диаметр дна чаши и высоту уровня воды на фотографии. Получаем 9,3 см и 6,5 см. Реальный диаметр равен \(d=10\) см. Поэтому реальная высота уровня воды \(H=\dfrac{6{,}5}{9{,}3}\cdot 10\text{ см}=7{,}0\) см (или можно сложить высоту дракона и расстояние от его самой высокой точки до поверхности воды, найденное ранее). На рисунке выше находим \[|QP|=\frac d2+H\tan 30^\circ\approx 9\text{ см}.\] Теперь можно воспользоваться соотношениями \[\tan\gamma_3=\frac{h}{|QP|},\qquad \gamma_2=30^\circ-\gamma_3,\qquad n\sin\gamma_2=\sin\gamma_1 .\] Искомый угол над горизонтом равен \(\alpha=\gamma_1-30^\circ\), и из предыдущих соотношений получаем \[\alpha=\arcsin\!\left(n\sin\!\left(30^\circ-\arctan\frac{h}{|QP|}\right)\right)-30^\circ, \qquad \alpha\approx 10{,}2^\circ.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.