Перископические очки

Лучи входят перпендикулярно грани, поэтому внутри призмы они только отражаются; прослеживайте углы падения при каждом отражении и используйте сумму углов прямоугольного треугольника.

1) см. рисунки в решении;  2) \(\varphi=30^\circ\);  3) \(|AB|=l/2\), \(|AC|=\tfrac34 l\);  4) одно плоское зеркало даёт зеркальное (перевёрнутое) изображение текста, нужно чётное число отражений.

1. Так как входящие и выходящие лучи перпендикулярны поверхности призмы, то на границе сред их направление не меняется. Если луч падает на призму на участке \(AB\), то он сначала отражается от верхней грани призмы, затем от нижней грани и выходит из призмы через правую грань (см. рисунок). Если луч падает на призму на участке \(BC\), то он отражается от верхней грани, затем от правой грани и выходит через нижнюю грань и до глаза не доходит. Если луч падает на призму на участке \(CD\), то он отражается сначала от правой грани, затем от верхней грани и выходит снова через нижнюю грань.

2. Рассмотрим луч, входящий в призму на участке \(AB\). Так как входящий луч перпендикулярен поверхности, то образуется прямоугольный треугольник \(AKL\) (см. рисунок). Одним из острых углов треугольника является \(\varphi\), и поэтому величина другого острого угла \(90^\circ-\varphi\). Так как последний угол — дополнительный к углу падения при первом отражении, то угол падения тоже равен \(\varphi\). Из закона отражения следует, что первый угол отражения также \(\varphi\). Так как выходящий из призмы луч параллелен верхней грани призмы, то при втором отражении дополнительный к углу отражения, а значит и к углу падения, угол равен \(\varphi\). Видим, что острые углы прямоугольного треугольника \(KLM\) равны \(\varphi\) и \(2\varphi\). Так как сумма внутренних углов треугольника равна \(180^\circ\), то \(\varphi=(180^\circ-90^\circ)/3=30^\circ\).

Замечание: теперь, когда угол при вершине призмы найден, можно убедиться, что если вошедший перпендикулярно поверхности луч отражается от нижней или правой грани призмы, то эти отражения полные. Из предыдущего подпункта видно, что в этих случаях угол падения равен \(90^\circ-\varphi=60^\circ\). Предельный угол полного внутреннего отражения равен \(\alpha=\arcsin(1/n)=42^\circ\). Угол падения \(60^\circ\) больше него, то есть происходит полное внутреннее отражение.

3. Если луч входит в призму в точке \(B\), то выходящий луч проходит через точку \(D\) (см. рисунок). Замечание: направление выходящего луча в этом случае не определено однозначно, но это не имеет значения для решения задачи. Используя найденное в предыдущем подпункте значение \(\varphi\), видно, что треугольники \(ABL\) и \(BDL\) являются зеркальным отражением друг друга относительно отрезка \(BL\) (говорят, что эти треугольники конгруэнтны). Поэтому длины отрезков \(AB\) и \(BD\) равны, откуда следует, что \(|AB|=l/2\). Если луч входит в призму в точке \(C\), то он отражается в точке \(O\) прямо назад и выходит из призмы в точке \(C\). Из прямоугольных треугольников получаем \(|AO|=\cos(30^\circ)|AD|\) и \(|AC|=\cos(30^\circ)|AO|\), то есть расстояние точки \(C\) от точки \(A\) равно \(|AC|=\cos^2(30^\circ)|AD|=\tfrac34 l\).

4. При использовании одного плоского зеркала текст виден в зеркальном отражении. Поэтому для того, чтобы видеть текст правильно, нужно использовать систему, в которой происходит чётное число отражений.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.