Стеклянный цилиндр

Угол отклонения луча, вышедшего из цилиндра, как функция угла падения имеет максимум; третье изображение исчезает, когда поворот цилиндра становится равным этому максимуму (случай предельного полного внутреннего отражения).

\(n\approx 1{,}64\) (при угле поворота \(15^\circ\), как в решении организаторов).

Обозначим отмеченную точку через \(A\), и пусть вышедший из неё луч преломляется в точке \(B\) так, что уходит далеко через точку \(C\), см. рисунок. Смотря издалека вдоль направления \(BC\), мы видим тёмную точку в положении точки \(B\). Исследуем, как зависит направление распространения луча \(BC\), которое описывается углом между \(AO\) и \(BC\), равным \(2\alpha-\beta\), от первоначального направления распространения луча \(\alpha\): \[2\alpha-\beta=2\alpha-\arcsin(n\sin\alpha).\]

При начальном положении цилиндра \(2\alpha-\arcsin(n\sin\alpha)=0\), одно решение которого \(\alpha=0\) даёт среднюю видимую точку, а два боковых тёмных пятна соответствуют остальным решениям уравнения \(\sin(2\alpha)=n\sin\alpha\) в интервале \(-45^\circ<\alpha<45^\circ\). Если теперь повернуть цилиндр на угол \(\delta\), то видимые точки соответствуют решениям уравнения \[2\alpha-\arcsin(n\sin\alpha)=\delta .\] Слева в уравнении стоит функция, которая при малых углах ведёт себя как \((2-n)\alpha\); при больших углах относительное влияние второго слагаемого растёт. Поэтому в случае \(2>n\) мы имеем при малых углах возрастающую функцию, которая при больших углах переходит в убывающую; в случае же \(2<n\) это монотонно убывающая функция. Так как при \(\delta=0\) три решения, то должен быть первый случай, \(2>n\). При тех углах поворота \(\delta\), которые больше локального максимума этой функции, у уравнения есть только одно решение. Функция достигает глобального максимума в предельном случае полного внутреннего отражения \[n\sin\alpha=-1,\] что даёт угол поворота \[90^\circ-2\arcsin\frac1n=15^\circ\ \Rightarrow\ n=1/\sin 37{,}5^\circ=1{,}64 .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.