Цилиндрические сосуды

При подъёме внутреннего цилиндра вода переходит сверху вниз; запишите баланс энергии, пренебрегая кинетической энергией воды у дна внутреннего цилиндра, и продифференцируйте его по времени.

\(\ddot x=g\,\dfrac{R^2-r^2}{r^2}\approx 4{,}3\) м/с\(^2\).

Если пустой сосуд поднимется на расстояние \(x\), то под ним освободится объём \(\pi r^2x\), который заполнит вода из пространства между цилиндрами. Пусть уровень опустится на расстояние \(y\); из равенства объёмов \(\pi r^2x=\pi(R^2-r^2)y\), поэтому \[y=x\,\frac{r^2}{R^2-r^2}.\] Если \(x\ll L\), то потенциальная энергия системы уменьшается из-за перемещения воды сверху вниз на величину \[E_p=g\rho\pi r^2xL .\] В балансе энергии можно пренебречь кинетической энергией движения воды у конца внутреннего цилиндра, так как количество участвующей в нём воды очень мало по сравнению с количеством опускающейся воды. Поэтому кинетическая энергия воды \[E_k=\frac12\rho\pi(R^2-r^2)L\dot y^{2},\] где \(\dot y\) обозначает производную \(y\) по времени. Взяв производную по времени от закона сохранения энергии \(gr^2x=\tfrac12(R^2-r^2)\dot y^{2}\), находим \[gr^2\dot x=(R^2-r^2)\dot y\ddot y .\] Из-за связи между \(x\) и \(y\) верно равенство \(r^2\dot x=(R^2-r^2)\dot y\), откуда \[\ddot y=g\ \Rightarrow\ \ddot x=g\,\frac{R^2-r^2}{r^2}\approx 4{,}3\ \text{м/с}^2 .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.