Призма и лазер
5/10На призму, сечение которой имеет вид равнобедренного прямоугольного треугольника, перпендикулярно нижней грани падает луч от лазерной указки. Каким должен быть показатель преломления \(n\) материала, из которого сделана призма, чтобы свет от указки вышел из призмы наружу только через эту же грань?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПроследите ход луча: на какие грани он падает и под какими углами? На каждой наклонной грани нужно полное внутреннее отражение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(n > \sqrt{2} \approx 1{,}41\).
Ореол и тёмный круг
6/10На горизонтальной поверхности располагается диск радиусом \(R\) и толщиной \(h\), сделанный из стекла с показателем преломления \(n = 1{,}5\) (рис. ниже, слева). Нижняя матовая сторона диска отражает свет диффузно (иначе говоря, равномерно в любых направлениях). Верхняя и боковая поверхности диска тщательно отшлифованы. Луч мощной лазерной указки, освещающей диск, направлен вдоль его оси. При рассматривании диска сверху (рис. ниже, справа) наблюдаются: ярко выраженный тёмный круг с нечёткой границей диаметром \(d_0\) и светлый ореол с резкой границей в виде концентрической с диском окружности радиусом \(R_0\).
Ниже вы видите фотографию, полученную при проведении опыта, похожего на описанный выше. Мощной лазерной указкой освещалась нижняя точка середины половинки стеклянного диска. Можно различить тёмный полукруг с размытой границей и светлый ореол с резкой границей.
Известно, что толщина диска равна \(h = 14\text{ мм}\), а отношение радиусов диска и границы ореола равно \(\dfrac{R_0}{R} \approx 1{,}65\) (это значение получается при измерениях по фотографиям опытов). Найдите радиус диска \(R\).
Чем может быть обусловлено возникновение тёмного круга? Оцените его радиус \(r_0\), считая показатель преломления и толщину диска известными.
Примечание. Можно считать, что в условиях данной задачи для лучей, выходящих из стекла в воздух, от границы раздела отражается не более \(10\,\%\) энергии падающего излучения, если величина угла падения меньше \(37^\circ\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРассмотрите луч, вышедший из диффузно рассеивающей точки внизу и дошедший до края диска: какой путь проходит луч, формирующий резкую границу ореола, и под каким предельным углом он выходит? Тёмный круг связан с лучами, отражёнными от верхней поверхности.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветА) \(R = \dfrac{h\sqrt{n^2-1}}{1-(0{,}65\,n)^2} \approx 70\text{ мм}\); Б) \(r_0 = 2h\,\mathrm{tg}\,\beta \approx 23\text{ мм} \pm 2\text{ мм}\).
Рефрактометр
6/10Рефрактометрия "— один из наиболее удобных способов определения концентрации примесей в жидкости путём измерения её показателя преломления.
Простейший рефрактометр представляет собой тубус (см. рисунок, представленный выше), на одном конце которого расположена призма с полированной скошенной гранью. На эту грань наносится капля исследуемой жидкости, которая затем прижимается к поверхности рассеивателем. Рассеиватель обеспечивает освещение жидкости под всеми углами. На другом конце тубуса находится окуляр. При наблюдении через окуляр при направлении яркого света на рассеиватель, видна шкала, часть которой освещена, а часть "— нет. Граница между освещённой и неосвещённой областями определяет показатель преломления жидкости, однозначно связанный с концентрацией примесей.
Принципиальная оптическая схема рефрактометра показана на рисунке, представленном ниже.
За призмой, внутри тубуса, расположена собирающая линза. В её фокальной плоскости находится полупрозрачный матовый экран со шкалой, рассматриваемый через окуляр. В простейшем варианте окуляр представляет собой одну линзу, а экран расположен в её фокальной плоскости. Предполагается отсутствие отражения света от зачернённой поверхности призмы.
Предположим, что необходимо спроектировать рефрактометр для измерения объёмной концентрации спирта в воде с пределом измерения 60%. Призма рефрактометра изготовлена из стекла с показателем преломления \(n = 1{,}500\).
Какова величина угла \(\beta\) при вершине призмы, если при помещении на скошенную грань призмы 30%-ного раствора спирта с показателем преломления \(n_{30} = 1{,}350\) граница освещённой области на экране пересекается с оптической осью линзы?
Рассчитайте длину шкалы \(d\) (см. рисунок) на полупрозрачном экране. Фокусное расстояние линзы \(F = 10\) см. Показатель преломления чистой воды \(n = 1{,}333\), 60%-ного раствора спирта "— \(n_{60} = 1{,}362\).
Шкала рефрактометра должна иметь цену деления 1%. Будем считать, что человеческому глазу комфортно различать предметы на далёком расстоянии, если угловое расстояние между ними не менее \(\varphi = 15'\) (15 угловых минут). Рассчитайте максимально возможное фокусное расстояние окуляра \(F_{\max}\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГраницу света и тени задают лучи, идущие в жидкости под предельным углом полного отражения на границе стекло"– жидкость. Луч, пересекающий главную оптическую ось линзы, выходит из призмы без преломления.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\beta = 25{,}8^\circ\); 2) \(d = 6{,}6\) мм; 3) \(F_{\max} = 25{,}2\) мм.
Угол полного отражения стекла
1/10Синус предельного угла равен 1/n, а n показывает, во сколько раз скорость света в стекле меньше, чем в воздухе.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Плоский световод
5/10Лучи от точечного источника у торца пластины идут по зигзагу благодаря полному внутреннему отражению; наибольшее число отражений для предельного угла, определяемого показателем n, и условие выхода света через боковые грани.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Лазер в сосуде
5/10Вращающийся лазер на стенке цилиндра с водой: по закону Снелла лучи перестают выходить при полном внутреннем отражении, найти время; скорость «зайчика» на зачернённой стенке через угловую скорость луча и геометрию.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
В пузыре
6/10Условие, что наблюдатель внутри водной планеты видит всё небо, связывает глубину с предельным углом преломления; отсюда радиус планеты, масса через плотность и скорость спутника на низшей орбите.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Прозрачный слой
6/10Луч входит в шар с полостью: условие проникновения в полость определяется отсутствием полного внутреннего отражения на границе полости; для постоянного n — закон преломления, для n(r) — сохранение n·r·sin угла.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Лазерное пятно на дне озера
6/10Тёмная область вокруг пятна ограничена предельным лучом полного внутреннего отражения под наклонным дном; по размерам овала находится глубина точки и расстояние до берега (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тёмное пятно
6/10Лазер освещает матовое дно под слоем жидкости; тёмное пятно ограничено лучами под предельным углом полного отражения (D = 4h/√(n²−1)); измерить n неизвестной жидкости по наклонам D(V), затем пятно в акриловой пластине под слоем воды (два предельных угла, излом графика) для n и толщины пластины, и краевой угол по толщине лужи.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вспышка в кубе
7/10Точечная вспышка в кубе с n=√2 излучает равномерно по всем направлениям; выйти наружу может свет только внутри конусов вне полного отражения, доля энергии — отношение площади сферических сегментов к площади сферы; найти диапазон долей и положения источника для минимума и максимума.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Видимая толщина канала в ручке
6/10Внутри прозрачного шестигранного корпуса шариковой ручки имеется круглый канал, заполненный чернилами. При рассматривании тёмного канала через прозрачный корпус было отмечено, что вращение корпуса вокруг его оси симметрии приводит к изменению видимой толщины канала с чернилами. Ширина видимой тёмной полосы максимальна, когда ближайшее ребро шестигранника, ось симметрии ручки и глаз наблюдателя лежат в одной плоскости. Отношение максимальной видимой толщины канала к его минимальной видимой толщине при неизменном расстоянии от ручки до глаза (которое во много раз больше толщины ручки) равно двум. Отношение диаметра \(d\) канала к длине \(L\) стороны шестигранника равно \(d/L = \sqrt 3/4\). Найдите показатель преломления \(n\) материала, из которого сделан корпус.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМинимальная видимая ширина равна настоящему диаметру: канал виден через одну грань. Для максимальной ширины проследите крайний луч, идущий от канала через середины двух соседних граней.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(n = \sqrt 2\).
Фотография пластины
7/10Диск толщиной около 1,5 см, сделанный из прозрачного материала, разрезали вдоль одного из диаметров. Получившуюся пластину, имеющую форму половины цилиндра, поставили на «миллиметровку», так что поверхность, вдоль которой разрезали диск, оказалась обращена вниз, а выпуклая поверхность полуцилиндра — вверх. Затем эту пластину фотографируют сверху, стараясь ориентировать оптическую ось объектива фотоаппарата вертикально (рис. 3), так чтобы она проходила через середину пластины. Фотография приведена ниже.
Определите показатель преломления материала пластины.
На фотографии внутри пластины видны изображения полос сетки. Какое максимальное количество изображений полос, перпендикулярных пластине, может увидеть наблюдатель, располагающийся на расстоянии \(h = 15\) см над центром пластины?
Оцените расстояние \(H\) от «миллиметровки» до главной плоскости объектива фотоаппарата при фотографировании пластины.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля лучей, идущих вдоль оптической оси, полуцилиндр можно представить как плоскопараллельную пластинку, соединённую с тонкой плосковыпуклой линзой. Изображение сетки получается там же, где она лежит, а увеличение определяется по сравнению масштаба сетки внутри и вне пластины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(n = 1{,}47 \pm 0{,}05\); 2) \(N = 103 \pm 3\); 3) \(H \approx 28 \pm 4\) см.
Камера-люцида
7/10Два плоских зеркала \(M_1O\) и \(M_2O\) образуют двугранный угол (см. рисунок), при этом плоскость зеркала \(M_1O\) составляет неизвестный угол \(\alpha\) с горизонтальной прямой, а плоскость зеркала \(M_2O\) такой же угол \(\alpha\) (\(0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}\)) с вертикальной прямой. Найдите такое значение (или значения, если их несколько) угла \(\alpha\), что изображение плоского предмета \(S_p\), располагающегося вертикально, лежит в горизонтальной плоскости.
На рисунке, приведённом ниже, изображена оптическая схема камеры-люциды "— устройства, которое раньше применялось для перерисовывания предметов, людей, пейзажей с натуры. Размеры на схеме непропорционально изменены. Глаз рисовальщика обозначен буквой \(E\), а перерисовываемый объект "— буквой \(S\).
В устройстве используется рассеивающая линза \(L\), а также призма \(P\) из стекла с показателем преломления \(n = \frac{3}{2}\), имеющая в сечении четырёхугольник с одним прямым углом и двумя одинаковыми острыми углами, равными \(\beta\). Рисовальщик смотрит вертикально вниз на лист бумаги \(C\) (на котором рисует).
Считайте, что расстояние от линзы \(L\) до изображаемого объекта \(S\) значительно больше, чем расстояние между \(E\) и \(C\). Линейные размеры призмы существенно меньше расстояния от \(L\) до \(S\) и расстояния от глаза рисовальщика до листа.
Объясните, как работает это устройство. Чему равен угол \(\beta\) призмы, которая использовалась в этом устройстве, по вашему мнению? Какую роль играет рассеивающая линза?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ пункте 1 изображение в двух зеркалах поворачивается на удвоенный угол между ними. В пункте 2 подумайте, какие грани призмы работают как зеркала и на какой угол они в сумме должны повернуть ход лучей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\alpha_1 = \dfrac{\pi}{8}\), \(\alpha_2 = \dfrac{\pi}{4}\); 2) рассеивающая линза создаёт уменьшенное изображение предмета вблизи фокальной плоскости. Грани призмы, составляющие тупой угол, играют роль зеркал, поворачивая изображение на угол \(\dfrac{\pi}{2}\), так что человек видит это изображение в плоскости листа, на котором он рисует. \(\beta = \dfrac{3\pi}{8}\).
Неоднородность в призме
7/10Экспериментатор Глюк проводит оптические исследования со сплошной призмой, поперечное сечение \(OAB\) которой представляет собой прямоугольный треугольник с катетами \(AB\) и \(OA = h\). Все грани призмы либо параллельны, либо перпендикулярны плоскости рисунка. Если ввести прямоугольную систему координат \(xOy\) с началом в точке \(O\) так, как показано на рисунке, то показатель преломления материала призмы зависит только от координаты \(x\) по закону: \[n(x) = \frac{3}{2 - x/h}.\]
Глюк решил целиком осветить грань призмы, содержащую \(OA\) и перпендикулярную плоскости рисунка, перпендикулярным ей пучком света. Дно призмы, содержащее \(AB\) и перпендикулярное плоскости рисунка, покрыто веществом, полностью поглощающим попавший на неё свет. Призма расположена в воздухе, показатель преломления которого можно считать равным единице. Далее рассматривайте только лучи, попадающие внутрь призмы через точки, расположенные на стороне \(OA\) призмы.
Рассмотрим луч, попадающий в призму в точке с координатой \(x_0\). Найдите уравнение траектории данного луча внутри призмы до попадания на стороны \(AB\) и \(OB\) призмы. Значения \(x\), при которых полученное уравнение траектории является применимым, находить не обязательно.
При каких значениях угла \(\angle AOB = \alpha\) лучи света попадают во все точки стороны \(OB\) сечения призмы?
При каких значениях угла \(\alpha\) все лучи, достигнувшие стороны \(OB\) сечения призмы, преломляются и проходят в воздух?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ слоистой среде сохраняется \(n(x)\cos\varphi\), где \(\varphi\) — угол луча с осью \(y\). Покажите, что радиус кривизны траектории при этом постоянен: лучи идут по дугам окружностей, и у всех лучей центр в одной точке.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(y^2 + (x - 2h)^2 = (2h - x_0)^2\) — дуга окружности с центром в точке \(x = 2h\), \(y = 0\); 2) \(\alpha \leqslant 45^\circ\); 3) \(\alpha \leqslant \dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{1}{3} \approx 9{,}74^\circ\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Поскольку пучок света направлен по нормали к грани призмы, на которую он падает, на входе в призму пучок не преломляется. Исследуем траектории лучей внутри призмы. Пусть \(\varphi\) — угол между направлением распространения луча и осью \(y\), а \(x_0\) — координата точки входа луча в призму. При этом угол падения на границу раздела сред равен \(90^\circ - \varphi\), поэтому из закона Снелла следует:
\[n\cos\varphi = \frac{3\cos\varphi}{2 - \dfrac{x}{h}} = \frac{3}{2 - \dfrac{x_0}{h}} \;\Rightarrow\; \cos\varphi = \frac{2h - x}{2h - x_0}.\]
Первое решение. Обратим внимание на соотношение: \[\frac{2h - x}{\cos\varphi} = 2h - x_0 = const.\]
Проведём через некоторую точку \(T\) траектории луча линию, перпендикулярную направлению его распространения, до точки \(P\) такой, что \(x_P = 2h\). Обратим внимание, что расстояние между точками \(P\) и \(T\) является постоянной величиной, равной \(2h - x_0\). Поскольку свет распространяется в направлении, перпендикулярном \(PT\), а \(PT = 2h - x_0 = const\) и \(x_P = 2h = const\) — положение точки \(P\) является постоянным, поскольку её смещение должно быть одновременно перпендикулярно \(PT\) и оси \(x\), что невозможно. Значит, траектория луча света до попадания на стороны \(AB\) и \(OB\) сечения призмы представляет собой окружность с центром в точке \(P\). Обратим внимание, что сразу после преломления все лучи света распространяются вдоль оси \(y\), а значит, для каждого луча центр окружности лежит в точке \(P\) такой, что \(x_P = 2h\) и \(y_P = 0\). Окончательно: \[y^2 + (x - 2h)^2 = (2h - x_0)^2.\]
Второе решение. Продифференцируем выражение, полученное из закона Снелла: \[dx = (2h - x_0)\sin\varphi\,d\varphi.\] Изменения координат \(dx\) и \(dy\) можно связать с помощью угла \(\varphi\): \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{dx}{dy}.\] Найдём изменение \(dy\) координаты \(y\) при изменении угла \(\varphi\) на величину \(d\varphi\): \[dy = dx\operatorname{ctg}\varphi = (2h - x_0)\operatorname{ctg}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = (2h - x_0)\cos\varphi\,d\varphi.\] Величине \(y = 0\) соответствует \(\varphi = 0\). Тогда получим: \[y(\varphi) = (2h - x_0)\int\limits_0^{\varphi}\cos\varphi\,d\varphi = (2h - x_0)\sin\varphi.\] Теперь получим выражение, связывающее \(y\) и \(x\): \[1 = \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = \left(\frac{y}{2h - x_0}\right)^2 + \left(\frac{x - 2h}{2h - x_0}\right)^2,\] откуда: \[y^2 + (x - 2h)^2 = (2h - x_0)^2.\]
Третье решение. Получим зависимость \(y(x)\) для траектории луча света. Для этого избавимся от угла \(\varphi\): \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{dx}{dy}.\] Поскольку \(\varphi > 0\): \[\operatorname{tg}\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^2\varphi} - 1} = \sqrt{\left(\frac{2h - x_0}{2h - x}\right)^2 - 1} = \frac{dx}{dy}.\]
Учитывая, что \(2h > x\), получим: \[y(x) = \int\limits_{x_0}^{x}\frac{(2h - x)\,dx}{\sqrt{(2h - x_0)^2 - (2h - x)^2}} = \int\limits_{2h - x_0}^{2h - x}\frac{x'\,dx'}{\sqrt{(2h - x_0)^2 - x'^2}}.\] Отсюда: \[y(x) = \sqrt{(2h - x_0)^2 - (2h - x)^2} \;\Rightarrow\; y^2 + (x - 2h)^2 = (2h - x_0)^2.\]
Четвёртое решение. Для радиуса кривизны \(\rho\) траектории луча имеем: \[\rho = \frac{dl}{d\varphi},\] где \(dl\) — элемент пути, пройденного лучом. Но \(dl = dx/\sin\varphi\), откуда:
\[\rho = \frac{1}{\sin\varphi}\frac{dx}{d\varphi} = -\frac{dx}{d\cos\varphi}.\] Продифференцируем выражение, полученное из закона Снелла: \[-\frac{dx}{d\cos\varphi} = 2h - x_0 = \rho = const.\] Таким образом, радиус кривизны траектории каждого луча остаётся постоянным, т. е. траектория луча света до попадания на стороны \(AB\) и \(OB\) сечения призмы представляет собой дугу окружности радиусом \(2h - x_0\). Обратим внимание, что сразу после преломления все лучи света распространяются вдоль оси \(y\), а значит, для каждого луча центр окружности лежит в точке \(P\) такой, что \(x_P = 2h - x_0 + x_0 = 2h\) и \(y_P = 0\). Окончательно: \[y^2 + (x - 2h)^2 = (2h - x_0)^2.\]
2. Из решения первого пункта следует, что траектории любого луча внутри призмы до попадания на \(AB\) и \(OB\) сечения призмы являются дугами окружностей, лежащими в плоскости рисунка, а центры этих окружностей расположены в точке \(P\) такой, что \(x_P = 2h\), а \(y_P = 0\).
Обратим внимание, что радиус окружности уменьшается с увеличением координаты \(x_0\). Расстояние от точки \(P\) до точки пересечения дуги окружности с \(OB\) уменьшается вплоть до момента, пока дуга окружности не коснётся рассматриваемой грани. При дальнейшем увеличении координаты \(x_0\) дуги окружности не будут пересекать \(OB\). Таким образом, лучи достигнут всех точек \(OB\) при условии отсутствия точек касания с дугами окружностей, а значит, угол \(\angle PBO\) не должен быть острым. Поскольку треугольник \(OPB\) является равнобедренным, имеем: \[\angle PBO = 180^\circ - 2\alpha \geqslant 90^\circ,\] откуда: \[\alpha \leqslant 45^\circ.\]
3. Обратим внимание, что при увеличении координаты \(x_0\) угол падения лучей на \(OB\) будет увеличиваться, как и показатель преломления вещества призмы. Тогда условие, при котором все лучи, достигнувшие \(OB\), попадают в воздух, состоит в том, что лучи, достигнувшие её вблизи точки \(B\), не испытают полного отражения. Поскольку исходно такие лучи падают под углом \(\alpha\) к \(OB\) и поворачивают на угол \(\alpha\) при движении по дуге окружности — угол падения луча в момент достижения \(OB\) равен \(2\alpha\).
Тогда имеем: \[n(h)\sin 2\alpha = 3\sin 2\alpha \leqslant 1,\] откуда: \[\alpha \leqslant \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3} \approx 9{,}74^\circ.\]
Мокрый асфальт на жаре
6/10Показатель преломления горячего воздуха у асфальта меньше; закон преломления по слоям даёт полное внутреннее отражение под малым углом скольжения, расстояние находится из sin α = n_асф/n_возд и роста человека.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Русалочка
6/10Лунная дорожка на морской ряби: найти, на каком расстоянии и какой длины её видит наблюдатель под водой, применяя закон преломления для лучей от Луны и отражения от мелких волн с разбросом наклонов.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Толстая линза
7/10Параллельный пучок идёт на экран через полушар с n=2 плоской стороной к экрану; по границам области переменной освещённости (предельный луч, полное внутреннее отражение, кольцевая тень) на двух картинах определить расстояния L1 и L2 до экрана.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.