Стеклянный полуцилиндр

Все преломлённые лучи внутри стекла параллельны. Опишите точку выхода углом между радиусом и плоской гранью и для каждой точки найдите угол падения на цилиндрическую поверхность; сравните его с предельным углом полного отражения.

Будем описывать положение лучей в стекле углом \(\varphi\) (рис. 5). Согласно закону преломления \(\sin45^\circ/\sin\beta = \sqrt2\), \(\sin\beta = 0{,}5\), \(\beta = 30^\circ\). Угол преломления равен \(30^\circ\) для всех падающих лучей. Нужно исследовать, что происходит, когда \(\varphi\) меняется от \(0^\circ\) до \(180^\circ\).

Легко видеть, что \(\varphi\) не может быть меньше \(60^\circ\) (\(\angle AOB = 60^\circ\)). Предельный угол определяется условием \(\sin\beta_{crit} = 1/n = \sqrt2/2\); отсюда \(\beta_{crit} = 45^\circ\). В случае полного внутреннего отражения \(\angle ACO = 45^\circ\), следовательно, \(\varphi = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ\). Если \(\varphi\) больше \(75^\circ\), лучи могут выйти из цилиндра. При увеличении угла мы снова достигаем предельного угла, когда \(\angle OED = 45^\circ\). Таким образом, лучи выходят из стеклянного цилиндра, если \[75^\circ < \varphi < 165^\circ;\] \(CE\) — дуга, через которую выходят лучи, — стягивает центральный угол \(90^\circ\).