Смешивание толуола

Приведите оба объёма к \(0\,^\circ\)C и выразите через них массы. Температура смеси — среднее, взвешенное по массам; что тогда получится для суммы объёмов?

Если объём при температуре \(t_1\) равен \(V_1\), то объём при температуре \(0\,^\circ\)C равен \(V_{10} = V_1/(1 + \beta t_1)\). Точно так же, если объём при температуре \(t_2\) равен \(V_2\), при \(0\,^\circ\)C имеем \(V_{20} = V_2/(1 + \beta t_2)\). Далее, если плотность жидкости при \(0\,^\circ\)C равна \(d\), то массы равны соответственно \(m_1 = V_{10}d\) и \(m_2 = V_{20}d\). После смешивания жидкостей температура равна \[t = \frac{m_1t_1 + m_2t_2}{m_1 + m_2}.\] Объёмы при этой температуре равны \(V_{10}(1 + \beta t)\) и \(V_{20}(1 + \beta t)\).

Сумма объёмов после смешивания: \[V_{10}(1 + \beta t) + V_{20}(1 + \beta t) = V_{10} + V_{20} + \beta(V_{10} + V_{20})t =\] \[= V_{10} + V_{20} + \beta\cdot\frac{m_1 + m_2}{d}\cdot\frac{m_1t_1 + m_2t_2}{m_1 + m_2} =\] \[= V_{10} + V_{20} + \beta\left(\frac{m_1t_1}{d} + \frac{m_2t_2}{d}\right) = V_{10} + \beta V_{10}t_1 + V_{20} + \beta V_{20}t_2 =\] \[= V_{10}(1 + \beta t_1) + V_{20}(1 + \beta t_2) = V_1 + V_2.\] Сумма объёмов постоянна. В нашем случае она равна \(410\text{ см}^3\). Результат справедлив для любого числа порций толуола, поскольку смешивание можно проводить последовательно, каждый раз добавляя к смеси ещё один стакан жидкости.