Брусок и цилиндр на наклонной плоскости

Пока нить натянута, брусок и центр цилиндра движутся с одним ускорением. Запишите второй закон Ньютона для каждого тела и уравнение вращения цилиндра; трение покоя под цилиндром — неизвестная сила.

Если нить натянута, цилиндр и брусок движутся с одинаковым ускорением \(a\). Пусть \(F\) — сила натяжения нити, \(S\) — сила трения между цилиндром и наклонной плоскостью (рис. 2). Угловое ускорение цилиндра равно \(a/r\). Результирующая сила, сообщающая ускорение бруску: \[m_2a = m_2g\sin\alpha - \mu m_2g\cos\alpha + F,\] и результирующая сила, сообщающая ускорение цилиндру: \[m_1a = m_1g\sin\alpha - S - F.\] Уравнение вращательного движения цилиндра: \[Sr = \frac{a}{r}\cdot I.\] (\(I\) — момент инерции цилиндра, \(S\cdot r\) — момент силы трения.)

Решая систему уравнений, получаем: \[a = g\cdot\frac{(m_1+m_2)\sin\alpha - \mu m_2\cos\alpha}{m_1 + m_2 + \dfrac{I}{r^2}}, \qquad (1)\] \[S = \frac{I}{r^2}\cdot g\cdot\frac{(m_1+m_2)\sin\alpha - \mu m_2\cos\alpha}{m_1 + m_2 + \dfrac{I}{r^2}}, \qquad (2)\] \[F = m_2g\cdot\frac{\mu\left(m_1 + \dfrac{I}{r^2}\right)\cos\alpha - \dfrac{I\sin\alpha}{r^2}}{m_1 + m_2 + \dfrac{I}{r^2}}. \qquad (3)\] Момент инерции сплошного цилиндра \(I = \dfrac{m_1r^2}{2}\). Подставляя заданные численные значения, получаем: \[a = g\cdot\frac{(m_1+m_2)\sin\alpha - \mu m_2\cos\alpha}{1{,}5m_1 + m_2} = 0{,}3317g = \mathbf{3{,}25\text{ м/с}^2},\] \[S = \frac{m_1g}{2}\cdot\frac{(m_1+m_2)\sin\alpha - \mu m_2\cos\alpha}{1{,}5m_1 + m_2} = \mathbf{13{,}01\text{ Н}},\] \[F = m_2g\cdot\frac{(1{,}5\mu\cos\alpha - 0{,}5\sin\alpha)m_1}{1{,}5m_1 + m_2} = \mathbf{0{,}192\text{ Н}}.\]

Обсуждение (см. рис. 3).

На графике: N — Н (ньютоны).

Условие того, что система начнёт двигаться, — \(a > 0\). Подставляя \(a = 0\) в (1), получаем предельное значение угла \(\alpha_1\): \[\operatorname{tg}\alpha_1 = \mu\cdot\frac{m_2}{m_1 + m_2} = \frac{\mu}{3} = 0{,}0667, \qquad \alpha_1 = 3{,}81^\circ.\] Для одного цилиндра \(\alpha_1 = 0\), а для одного бруска \(\alpha_1 = \operatorname{arctg}\mu = 11{,}31^\circ\).

Если нить не натянута, тела движутся по отдельности. Предельное значение получаем, подставив \(F = 0\) в (3): \[\operatorname{tg}\alpha_2 = \mu\cdot\left(1 + \frac{m_1r^2}{I}\right) = 3\mu = 0{,}6, \qquad \alpha_2 = 30{,}96^\circ.\]

Условие проскальзывания цилиндра: значение \(S\) (вычисленное из (2) при том же коэффициенте трения) превышает значение \(\mu m_1g\cos\alpha\). Это даёт для \(\alpha_3\) то же значение, что мы получили для \(\alpha_2\). Ускорения центра цилиндра и бруска одинаковы: \(g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\), сила трения в нижней точке цилиндра равна \(\mu m_1g\cos\alpha\), тангенциальное ускорение точек обода цилиндра равно \(\mu\cdot\dfrac{m_1r^2}{I}\cdot g\cos\alpha\).