Задачи › Вихревое электрическое поле, закон Фарадея

Петля

  1. Петля

    NBPhO 2016/17, заключительный этап, 11 кл. · №25812
    4/10PDF: условиес решением

    (6 баллов) Проволочная петля висит в космическом пространстве (в невесомости и вакууме), причём её плоскость параллельна плоскости \(xy\). В области \(x<0\) имеется однородное магнитное поле, параллельное оси \(z\). Жёсткая прямоугольная петля имеет ширину \(l=10\) см и длину \(h=30\) см. Петля сделана из медной проволоки с круглым сечением (радиус \(r=1{,}0\) мм). В момент \(t=0\) с внешнее магнитное поле начинает уменьшаться со скоростью \(0{,}025\) Тл/с.

    1. (3 балла) Найдите ускорение петли сразу после момента \(t=0\) с. Магнитная индукция в начальный момент равна \(B=2{,}0\) Тл, а петля погружена во внешнее поле на \(d=12\) см, причём её более короткая сторона параллельна оси \(y\).

    2. (3 балла) Мы можем попытаться увеличить ускорение разными способами. Как изменится результат пункта 1), если

      a) петля сделана из вдвое более толстой медной проволоки (\(r=2{,}0\) мм);

      b) исходная проволока намотана три раза вместо одного (получается замкнутая накоротко катушка из трёх витков, размеры прямоугольника остаются прежними);

      c) масса катушки остаётся постоянной за счёт использования проволоки с вдвое меньшим сечением, которая затем наматывается два раза (размеры прямоугольника остаются прежними);

      d) петля сделана из другого металла? Какой из металлов, указанных в таблице, даёт наилучший результат?

      МеталлУдельное сопротивление, \(10^{-8}\) Ом\(\cdot\)мПлотность, \(10^3\) кг/м\(^3\)
      Железо9,717,87
      Медь1,678,96
      Алюминий2,652,70
      Литий8,550,53

      e) что, если из более толстой медной проволоки сделать вдвое большую петлю (\(r=2{,}0\) мм, \(l=20\) см, \(h=60\) см) и погрузить её во внешнее поле на 24 см?

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    ЭДС в петле создаёт убывающий поток через погружённую часть, а ток в проводнике в поле даёт силу Ампера \(F=IlB\) только на одной стороне; ускорение \(a=F/m\) выражается через удельное сопротивление и плотность материала, а сечение проволоки сокращается.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(a\approx0{,}63\) м/с\(^2\);  2) a) не изменится; b) не изменится; c) не изменится; d) лучший результат даёт литий; e) \(a\approx1{,}25\) м/с\(^2\) (вдвое больше).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    i) Петля начинает двигаться из-за индукции. Изменяющееся магнитное поле наводит в петле ЭДС, из-за чего течёт ток. Внешнее магнитное поле действует на проводник с током с некоторой силой. ЭДС, наведённая в петле, равна \[U=-\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}=-A_l\frac{\mathrm dB}{\mathrm dt},\] где \(A_l=ld\). Ток равен \(I=U/R\), где \[R=\sigma\frac{s}{A_w},\] \(s=2h+2l\), \(A_w\) — площадь поперечного сечения проволоки, \(\sigma\) — удельное сопротивление меди. Таким образом, \[I=\frac UR=\frac{A_l\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}A_w}{\sigma s}=0{,}0705\text{ А}.\] Суммарная сила, действующая на петлю со стороны магнитного поля, равна \(F=IlB\), а ускорение \[a=\frac Fm=\frac{A_l\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}A_w\,lB}{\sigma s\cdot\rho A_ws}=\frac{A_l\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}\,lB}{\sigma\rho s^2},\] \[a=0{,}627\text{ м/с}^2\approx0{,}63\text{ м/с}^2 .\]

    (Силы, действующие со стороны внешнего поля на другие стороны, либо равны нулю, либо компенсируются. Магнитное поле, создаваемое самим током, пренебрежимо мало по сравнению с внешним полем. Индуктивность катушки очень мала по сравнению с ЭДС, и ток приближённо постоянен, так как скорость катушки очень мала, а внешнее магнитное поле меняется с постоянной скоростью. Магнитные силы между разными частями внутренние и на ситуацию не влияют. Магнитное поле самого проводника с током, конечно, значительно вблизи самого проводника, но так бывает всегда, когда используется \(F=IlB\). Это и есть первопричина силы, поэтому всё в порядке.)

    ii) a) Площадь поперечного сечения в предыдущей формуле сокращается, значит, ответ остаётся прежним.

    (Вдвое более толстая проволока имеет в четыре раза меньшее сопротивление, значит, ток и сила в четыре раза больше. Масса при этом тоже вчетверо больше, поэтому ускорение не меняется.)

    b) Петля заменяется катушкой из трёх витков, что даёт втрое большую ЭДС. Проволока также втрое длиннее и имеет втрое большее сопротивление. Ток остаётся прежним. Этот ток три раза проходит по стороне \(l\), что даёт втрое большую силу. Проволока, однако, имеет втрое большую массу, и ускорение остаётся прежним. Математически \[a=\frac Fm=\frac{3A_l\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}A_w\,3lB}{\sigma\,3s\cdot\rho A_w\,3s}=\frac{A_l\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}\,lB}{\sigma\rho s^2},\qquad a=0{,}627\text{ м/с}^2\approx0{,}63\text{ м/с}^2,\] где символы обозначают исходные величины.

    (Те же соображения применимы и к катушке. В частности, все эффекты между витками внутренние. Ток по-прежнему постоянен. Простая формула силы применяется, например, при расчёте момента, действующего на катушку с током во внешнем поле, где часто бывают сотни витков и значительный ток.)

    c) Сечение сокращается, и в предыдущем расчёте можно заменить 3 на 2. Ускорение по-прежнему то же.

    (Вдвое большая ЭДС, вчетверо большее сопротивление и вдвое больше проходов через поле дают ту же силу. Масса та же.)

    d) Наибольшее ускорение даёт материал, для которого произведение удельного сопротивления на плотность наименьшее. Алюминий хорош, но лучшим, похоже, является литий.

    e) Мы удвоили размеры, поэтому \[a=\frac Fm=\frac{4A_l\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}A_w\,2lB}{\sigma\,2s\cdot\rho A_w\,2s}=2\,\frac{A_l\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}\,lB}{\sigma\rho s^2},\qquad a=1{,}253\text{ м/с}^2\approx1{,}25\text{ м/с}^2,\] где символы обозначают исходные величины.

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх