Грузы на нити через блок на клине

Используйте законы сохранения горизонтального импульса и энергии, затем кинематику равноускоренного движения.

Найдём скорости тел в момент, когда левое тело окажется на поверхности (по законам сохранения энергии и импульса), а затем по законам равноускоренного движения — время движения.

Пусть скорость клина в этот момент равна \(u\) и направлена направо. В системе отсчёта, связанной с клином, тела имеют одинаковые по модулю скорости \(v\), направленные вдоль наклонных граней. Клин невесом, поэтому проекция импульса системы на горизонталь сохраняется: \[u - v\cos\alpha = v\cos\beta - u ,\] откуда \[u = \frac{\cos\alpha + \cos\beta}{2}\,v = \frac{1+\sqrt{3}}{4}\,v .\] Скорости тел относительно земли находятся сложением скорости относительно клина и скорости клина: \[v_1^2 = v^2 + u^2 - 2uv\cos\alpha = \frac{8-\sqrt{3}}{8}\,v^2, \qquad v_2^2 = v^2 + u^2 - 2uv\cos\beta = \frac{4-\sqrt{3}}{8}\,v^2 .\] Потенциальная энергия левого тела уменьшилась на \(mgl\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}mgl\), правого — увеличилась на \(mgl\sin\beta = \dfrac{mgl}{2}\). Закон сохранения энергии: \[\frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\,mgl .\] Подставляя скорости тел, получим \[v^2 = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{6-\sqrt{3}}\,gl .\] Левое тело движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью и проходит в системе отсчёта клина путь \(l\), приобретая в конце скорость \(v\). Поэтому время движения \[t = \frac{l}{v/2} = \frac{2l}{v} = \sqrt{\frac{l\,(3+5\sqrt{3})}{2g}} .\]