Цепь из резисторов R, 2R, 3R

Запишите правило узлов и обход контура через резисторы \(2R\), \(R\), \(3R\), а затем сопротивление цепи после перегорания среднего резистора.

Пусть при приложении напряжения \(U\) через резисторы \(R\), \(2R\) и \(3R\) текут токи \(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\) соответственно (из симметрии цепи токи через резисторы \(2R\) и \(3R\) слева и справа одинаковы). По правилу узлов \[I_3 + I_1 = I_2 .\] Для замкнутого участка, содержащего резисторы \(2R\), \(R\) и \(3R\) слева, напряжение на двух резисторах \(2R\) и \(R\) равно напряжению на резисторе \(3R\): \[2I_2 R + I_1 R = 3I_3 R .\] Решая систему, найдём \(I_2 = 4I_1\), \(I_3 = 3I_1\). Для напряжения в цепи имеем \[U = 2I_2R + 3I_3R = 17I_1R ,\] откуда ток через средний резистор \[I_1 = \frac{U}{17R}.\] Общий ток через цепь \(I = I_2 + I_3 = 7I_1 = \dfrac{7U}{17R}\), мощность по закону Джоуля—Ленца \[P_1 = UI = \frac{7U^2}{17R}.\] Если средний резистор перегорит, сопротивление цепи станет равным \(5R/2\), и мощность \[P_2 = \frac{U^2}{5R/2} = \frac{2U^2}{5R}.\] Отношение мощностей \[\frac{P_1}{P_2} = \frac{35}{34},\] то есть выделяемая мощность составит \(34/35\) от прежней.