Мощность силы тяжести при падении

Среднюю мощность найдите как работу силы тяжести, делённую на время падения, а мгновенную — как произведение силы на скорость в нужной точке.

Пусть тело падает с высоты \(h\). За все время падения сила тяжести совершает работу \(A = mgh\), а падает тело в течение времени \(t = \sqrt{2h/g}\). Поэтому средняя мощность силы тяжести за все время падения \[P_{\text{ср}} = \frac{A}{t} = mg\sqrt{\frac{gh}{2}} .\] Мгновенная мощность силы тяжести \(P_{\text{мгн}} = mgv\), где \(v\) — скорость тела, когда оно пройдёт половину высоты \(h\). По закону сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = mg\,\frac{h}{2} ,\] откуда \(v = \sqrt{gh}\). Значит, \(P_{\text{мгн}} = mg^{3/2}h^{1/2} = mg\sqrt{gh}\). Отношение средней мощности за все время падения к мгновенной мощности на половине высоты равно \[\frac{P_{\text{ср}}}{P_{\text{мгн}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .\]