Росатом, 2025/26, отборочный этап, 10 класс

Обгон начинается, когда начало электрички поравнялось с концом товарного поезда, а заканчивается, когда конец электрички поравнялся с началом товарного поезда.

\(t = \dfrac{5l}{6v}\).

Разность расстояний, пройденных электричкой и товарным поездом за время обгона \(t\), равна сумме длин электрички и товарного поезда: \[\frac{5}{2}vt - vt = l + \frac{l}{4} .\] Из этого уравнения находим \[t = \frac{5l}{6v}.\]

Среднюю мощность найдите как работу силы тяжести, делённую на время падения, а мгновенную — как произведение силы на скорость в нужной точке.

\(\dfrac{P_{\text{ср}}}{P_{\text{мгн}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Пусть тело падает с высоты \(h\). За все время падения сила тяжести совершает работу \(A = mgh\), а падает тело в течение времени \(t = \sqrt{2h/g}\). Поэтому средняя мощность силы тяжести за все время падения \[P_{\text{ср}} = \frac{A}{t} = mg\sqrt{\frac{gh}{2}} .\] Мгновенная мощность силы тяжести \(P_{\text{мгн}} = mgv\), где \(v\) — скорость тела, когда оно пройдёт половину высоты \(h\). По закону сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = mg\,\frac{h}{2} ,\] откуда \(v = \sqrt{gh}\). Значит, \(P_{\text{мгн}} = mg^{3/2}h^{1/2} = mg\sqrt{gh}\). Отношение средней мощности за все время падения к мгновенной мощности на половине высоты равно \[\frac{P_{\text{ср}}}{P_{\text{мгн}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .\]

Ускорение растёт линейно, значит, скорость — квадратичная функция времени; сравните с равноускоренным движением.

\(v = \dfrac{3}{4}\,g\,\Delta t = 15\) м/с.

Ускорение Винни-Пуха линейно зависит от времени: \[a(t) = \frac{g}{2} + kt ,\] где \(k\) — такое число, чтобы при \(t = \Delta t\) ускорение равнялось \(g\). Поэтому \(k = \dfrac{g}{2\,\Delta t}\), и \[a(t) = \frac{g}{2} + \frac{g\,t}{2\,\Delta t}.\] Поскольку ускорение меняется, нельзя напрямую использовать формулы равноускоренного движения, но можно провести аналогию. При равноускоренном движении скорость — линейная функция времени, а при линейной зависимости ускорения от времени скорость — квадратичная функция времени, обращающаяся в ноль при \(t = 0\) (в начальный момент Пух покоился): \[v(t) = \int_0^t a(t')\,dt' = \frac{g\,t}{2} + \frac{g\,t^2}{4\,\Delta t}.\] В момент падения \(t = \Delta t\) скорость равна \[v = \frac{3}{4}\,g\,\Delta t = 15~\text{м/с}.\]

Запишите правило узлов и обход контура через резисторы \(2R\), \(R\), \(3R\), а затем сопротивление цепи после перегорания среднего резистора.

\(I_1 = \dfrac{U}{17R}\);  мощность уменьшится в \(\dfrac{35}{34}\) раза.

Пусть при приложении напряжения \(U\) через резисторы \(R\), \(2R\) и \(3R\) текут токи \(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\) соответственно (из симметрии цепи токи через резисторы \(2R\) и \(3R\) слева и справа одинаковы). По правилу узлов \[I_3 + I_1 = I_2 .\] Для замкнутого участка, содержащего резисторы \(2R\), \(R\) и \(3R\) слева, напряжение на двух резисторах \(2R\) и \(R\) равно напряжению на резисторе \(3R\): \[2I_2 R + I_1 R = 3I_3 R .\] Решая систему, найдём \(I_2 = 4I_1\), \(I_3 = 3I_1\). Для напряжения в цепи имеем \[U = 2I_2R + 3I_3R = 17I_1R ,\] откуда ток через средний резистор \[I_1 = \frac{U}{17R}.\] Общий ток через цепь \(I = I_2 + I_3 = 7I_1 = \dfrac{7U}{17R}\), мощность по закону Джоуля—Ленца \[P_1 = UI = \frac{7U^2}{17R}.\] Если средний резистор перегорит, сопротивление цепи станет равным \(5R/2\), и мощность \[P_2 = \frac{U^2}{5R/2} = \frac{2U^2}{5R}.\] Отношение мощностей \[\frac{P_1}{P_2} = \frac{35}{34},\] то есть выделяемая мощность составит \(34/35\) от прежней.

Используйте законы сохранения горизонтального импульса и энергии, затем кинематику равноускоренного движения.

\(t = \sqrt{\dfrac{l\,(3+5\sqrt{3})}{2g}}\).

Найдём скорости тел в момент, когда левое тело окажется на поверхности (по законам сохранения энергии и импульса), а затем по законам равноускоренного движения — время движения.

Пусть скорость клина в этот момент равна \(u\) и направлена направо. В системе отсчёта, связанной с клином, тела имеют одинаковые по модулю скорости \(v\), направленные вдоль наклонных граней. Клин невесом, поэтому проекция импульса системы на горизонталь сохраняется: \[u - v\cos\alpha = v\cos\beta - u ,\] откуда \[u = \frac{\cos\alpha + \cos\beta}{2}\,v = \frac{1+\sqrt{3}}{4}\,v .\] Скорости тел относительно земли находятся сложением скорости относительно клина и скорости клина: \[v_1^2 = v^2 + u^2 - 2uv\cos\alpha = \frac{8-\sqrt{3}}{8}\,v^2, \qquad v_2^2 = v^2 + u^2 - 2uv\cos\beta = \frac{4-\sqrt{3}}{8}\,v^2 .\] Потенциальная энергия левого тела уменьшилась на \(mgl\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}mgl\), правого — увеличилась на \(mgl\sin\beta = \dfrac{mgl}{2}\). Закон сохранения энергии: \[\frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\,mgl .\] Подставляя скорости тел, получим \[v^2 = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{6-\sqrt{3}}\,gl .\] Левое тело движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью и проходит в системе отсчёта клина путь \(l\), приобретая в конце скорость \(v\). Поэтому время движения \[t = \frac{l}{v/2} = \frac{2l}{v} = \sqrt{\frac{l\,(3+5\sqrt{3})}{2g}} .\]