Труба
На шероховатую горизонтально закрепленную трубу радиуса \(R\) поместили брусок в форме параллелепипеда таким образом, что он оказался в равновесии. Найдите толщину бруска \(L\), при которой его равновесие на трубе является устойчивым. \underline{Примечание}: При решении могут оказаться полезными справедливые для маленьких углов приблизительные равенства \(\sin\alpha\approx\alpha\) и \(\cos\alpha\approx1-\alpha^2/2\), где углы выражены в радианах. (8 б.)
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРавновесие устойчиво, если при небольшом наклоне бруска (качении без проскальзывания) его центр масс поднимается; запишите высоту центра масс при наклоне на угол \(\alpha\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(L<2R\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеКолебание бруска на трубе устойчиво, если при отклонении бруска на малый угол \(\alpha\) центр масс бруска поднимается выше, чем вначале, \(R+L/2\). Высота центра масс при отклонении равна \[\left(R+\frac L2\right)\cos\alpha+R\alpha\sin\alpha>R+\frac L2.\] Так как угол отклонения мал, можно считать, что \(\sin\alpha\approx\alpha\) и \(\cos\alpha\approx1-\alpha^2/2\). Колебания при малых отклонениях устойчивы, если \[L<2R.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Ваза Шкобилиус Санкт-Петербургская 2014/15, отборочный этап, 8 кл.
- Картина дядюшки Поджера «Надежда энергетики» 2017/18, заключительный этап, 10 кл.
- Картина дядюшки Поджера «Надежда энергетики» 2017/18, заключительный этап, 8 кл.
- Картина дядюшки Поджера «Надежда энергетики» 2017/18, заключительный этап, 9 кл.
- Кафельный цветок Санкт-Петербургская 2017/18, заключительный этап, 8 кл.
- Равновесие двух склеенных полудисков Росатом 2019/20, отборочный этап, 11 кл.