Спутники

Действуйте как при оценке длины свободного пробега молекулы: за время \(t\) сечение столкновения спутника заметает объём, равный объёму слоя, делённому на число спутников; скорость возьмите равной первой космической.

\(\Delta t\approx6\cdot10^8\) с \(\approx19\) лет.

Исходим из аналогии с молекулярной физикой, где при оценке длины свободного пробега молекулы считают, что молекула движется без столкновений типично за то время, за которое сечение её столкновений покрывает объём, в котором находится типично одна частица (этот объём выражается как объём сосуда, делённый на число частиц). Сечение столкновений не совсем совпадает с сечением самой частицы — рассмотрим, например, шарообразные частицы радиуса \(r\): частицы сталкиваются, когда их центры оказываются на расстоянии \(2r\) друг от друга, поэтому сечение столкновений одной частицы в четыре раза больше её сечения.

Спутники движутся в области пространства объёма \[V=\frac{4\pi}{3}\Bigl[(R_M+h_2)^3-(R_M+h_1)^3\Bigr]\approx1{,}2\cdot10^{12}\text{ км}^3.\] Пространство движения, приходящееся на один спутник, равно \(V/N\) (такого объёма произвольно выбранную область пространства содержит типично один спутник).

За время \(t\) сечение столкновений одного спутника покрывает объём \[V_t=4Svt,\] где \(v\) — типичная скорость движения спутника. Большой ошибки мы не сделаем, приняв \(v\) равным значению первой космической скорости (скорость зависит от корня из радиуса, и относительная ошибка составила бы лишь \(\sqrt{\frac{6400+2000}{6400}}\approx1{,}15\)): \[\frac{v^2}{R_M}=\frac{GM}{R_M^2}=g.\] Итак, \[V_t=\sqrt{gR_M}\,4St.\] Согласно предыдущим рассуждениям, одному спутнику приходится ждать столкновения такой промежуток времени \(t\), что \(V_t=V/N\). Так как у нас \(N\) спутников, то до первого такого столкновения проходит в \(N\) раз меньше времени. Итак, \[\Delta t=\frac{V}{N^2\,4S\sqrt{gR_M}}=\frac{1{,}2\cdot10^{12}\cdot10^{9}}{4\cdot2{,}5^2\cdot10^6\cdot10\cdot\sqrt{10\cdot64\cdot10^2\cdot10^3}}\text{ с}=6\cdot10^8\text{ с},\] или \[\Delta t=\frac{6\cdot10^8}{3600\cdot24\cdot365}\approx19\text{ лет}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.