Зубчатые колёса

Запишите равенства моментов сил относительно центров колёс: тогда неизвестные силы со стороны осей не входят в уравнения, а колёса действуют друг на друга касательной силой.

\(T=\dfrac{M}{2r_1}\).

Первое решение. Воспользуемся методом виртуальных перемещений: предположим, что нить всё же не вполне нерастяжима, и первое колесо можно повернуть на малый угол \(\alpha\). Трения нет, поэтому вся работа внешнего момента сил запасается как потенциальная энергия упругости нити. Работа внешнего момента равна \(M\alpha\) (если момент создаёт одна сила с плечом \(d\) и величиной \(M/d\), то её точка приложения смещается на \(\alpha d\), а работа равна \(\alpha d\cdot M/d=M\alpha\)). При малом смещении \(T\) не успевает заметно измениться, поэтому работа растяжения нити должна быть равна \(Ts\), где \(s\) — удлинение нити. Пути, проходимые поверхностными точками колёс, находящимися в зацеплении, равны — у обоих \(\alpha r_1\), следовательно, \(s=2\alpha r_1\) и \(M\alpha=2\alpha r_1T\), откуда \(T=\dfrac{M}{2r_1}\).

Второе решение. Силы и моменты, действующие на колёса, уравновешены. Проще всего записать равенства моментов относительно центров колёс, так как тогда плечи неизвестных сил, действующих со стороны осей, равны нулю. (Иначе решение получается, если выразить эти силы из уравнений равновесия сил.) Колёса действуют друг на друга касательной силой; если второе колесо действует на первое с силой \(\vec F\), то по третьему закону Ньютона первое действует на второе с силой \(-\vec F\). Равенство моментов для первого колеса имеет вид \(M=(F+T)r_1\), а для второго \(T=F\), поэтому \(T=\dfrac{M}{2r_1}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.