Магниты

Равновесие подвешенного магнита определяется равенством магнитной силы и горизонтальной проекции силы тяжести \(mgx/l\); потеря устойчивости наступает, когда при малом смещении добавка к магнитной силе сравнивается с добавкой возвращающей силы.

\(n=4\).

На подвешенный магнит действуют три силы: направленная вниз сила тяжести \(m\vec g\), сила натяжения нити \(\vec T\), направленная вдоль нити, и горизонтальная магнитная сила \(\vec F_m\). Так как угол нити очень мал, модуль \(\vec T\) почти равен \(mg\), поэтому её горизонтальная проекция выражается как \(-(x/l)mg\), где \(l\) — длина нити, а \(x=1\) см — смещение от начального положения. Результирующая горизонтальная сила \(F=F_m-(x/l)mg\). В точке равновесия \(F=0\). Положение равновесия устойчиво, если малое (виртуальное) смещение \(\Delta x\) вызывает возвращающую силу \[\Delta F=\Delta F_m-\frac{\Delta x}{l}mg,\] которая должна толкать к положению равновесия. Пусть \(F_m=kd^{-n}\), где \(k\) — неизвестный коэффициент пропорциональности. Тогда \[\Delta F_m=F_m'(d)\Delta d=\frac{kn}{d^{n+1}}\Delta x,\] так как \(\Delta d=-\Delta x\). Следовательно, \[\Delta F=\left(\frac{kn}{d^{n+1}}-\frac{mg}{l}\right)\Delta x .\] В предельном случае потери устойчивости (именно он описан в задаче) \(\Delta F=0\). Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными (\(n\) и \(k\)): \[\frac{k}{d^n}-\frac{xmg}{l}=0,\qquad \frac{kn}{d^{n+1}}-\frac{mg}{l}=0;\] их можно переписать в виде \[\frac{k}{d^n}=\frac{xmg}{l},\qquad \frac{kn}{d^{n+1}}=\frac{mg}{l}.\] Если разделить соответствующие части уравнений друг на друга, получим \(d/n=x\), откуда \[n=d/x=4 .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.