Проект утилизации отходов

Минимальный расход топлива соответствует самой вытянутой эллиптической орбите, перигелий которой лежит на поверхности Солнца; её большая полуось определяется радиусом орбиты Земли и радиусом Солнца. Скорость вблизи Земли выше, чем вдали от неё, на величину, определяемую энергией в поле тяжести Земли.

ii) \(t=2^{-5/2}T\approx64{,}6\) сут;  iii) \(v_0=29{,}8\) км/с;  iv) \(v_E=v_0-v_S\approx27{,}0\) км/с;  v) \(u\approx29{,}2\) км/с.

1) Траектория — очень вытянутый эллипс, перигелий которого находится внутри Солнца. Чтобы минимизировать расход топлива, скорость вблизи орбиты Земли должна быть как можно больше (корабль нужно затормозить, чтобы перевести на эллиптическую орбиту), поэтому полная орбитальная энергия корабля \(E=-\dfrac{GMm}{2a}\) должна быть как можно меньше. Здесь \(M\) — масса Солнца, \(m\) — масса корабля, \(a\) — большая полуось. Значит, \(a\) должно быть как можно больше, то есть перигелий должен лежать на поверхности Солнца, и тогда \(2a=R_E+r_S\), где \(R_E\) — радиус орбиты Земли, \(r_S\) — радиус Солнца. Полученная траектория изображена ниже.

На рисунке: Sun — Солнце, Earth's orbit — орбита Земли; сплошная линия — траектория корабля.

2) Если пренебречь радиусом Солнца, корабль должен падать прямо на Солнце, а значит, его начальная орбитальная скорость должна быть равна нулю, поэтому его траектория — эллипс с большой полуосью, равной \(R_E/2\). По третьему закону Кеплера период на такой орбите в \(2^{3/2}\) раз меньше орбитального периода Земли \(T\). Время полёта \(t\) — половина периода, так что \[t=2^{-5/2}T\approx64{,}6\ \text{сут}.\]

3) В системе отсчёта Солнца скорость должна быть равна нулю; значит, в системе отсчёта Земли она направлена противоположно орбитальной скорости Земли и по модулю равна \(v_0=29{,}8\) км/с.

4) Скорость \(v_S\) в системе отсчёта Солнца находим из выражения для полной энергии: \[-\frac{GMm}{2a}=-\frac{GMm}{R_E+r_S}=-\frac{GMm}{R_E}+\frac{mv_S^2}{2},\] откуда \[v_S=\sqrt{\frac{GM}{R_E}\,\frac{2r_S}{R_E+r_S}}.\] Это выражение можно переписать, используя равенство \(v_0^2=\dfrac{GM}{R_E}\): \[v_S=v_0\sqrt{\frac{2r_S}{R_E+r_S}}=v_0\sqrt{2\sin\frac\alpha2}\approx v_0\sqrt\alpha .\] Численно получаем \(v_S\approx2{,}8\) км/с; скорость в системе отсчёта Земли \(v_E=v_0-v_S\approx27{,}0\) км/с.

5) Часть начальной кинетической энергии в системе отсчёта Земли идёт на изменение потенциальной энергии из-за гравитационного притяжения Земли, \(\Delta\Pi=\dfrac{GM_Em}{R}=gmR\), поэтому \[gR+\frac{v_E^2}{2}=\frac{u^2}{2}.\] Здесь \(M_E\) — масса Земли, \(u\) — скорость запуска. Итак, \[u=\sqrt{v_E^2+2gR}\approx29{,}2\ \text{км/с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.