Интерференция с зеркалом

Разность хода прямого и отражённого лучей под малым углом \(\alpha\) к оси равна \(2l\cos\alpha\); не забудьте дополнительный сдвиг фазы при отражении от оптически более плотной среды.

i) \(y_n=L\sqrt{\dfrac{n+0{,}5}{N}}\), \(n=0,1,\dots\ll N\);  ii) концентрические окружности;  iii) \(m=2N\).

1) В точке с координатой \(y\) приходящие лучи образуют угол \(\alpha=y/L\) (используем приближение малых углов; угол в радианах). Тогда оптическая разность хода между отражённым и прямым лучами равна \(\Delta=2l\cos\alpha\approx2N\lambda-N\lambda\alpha^2\). Поскольку при отражении от оптически более плотного диэлектрика у отражённых лучей есть дополнительный сдвиг фазы, полный сдвиг фазы равен \(\varphi=2\pi\Delta/\lambda=4\pi N-\pi(2N\alpha^2-1)\). В максимумах он равен \(2\pi(2N-n)\), где \(n\) — целое число. Следовательно, условие максимумов записывается как \[\alpha=\sqrt{\frac{n+0{,}5}{N}}\ \Rightarrow\ y_n=L\sqrt{\frac{n+0{,}5}{N}},\] где \(n=0,1,\dots\ll N\).

2) Так как лучи данного порядка \(n\) образуют фиксированный угол с осью \(x\), максимумы образуют на экране концентрические окружности; шаг между соседними окружностями уменьшается с ростом номера порядка \(n\) (если взять за единицу длины наименьший радиус, радиусы образуют последовательность \(\sqrt1=1\), \(\sqrt3\approx1{,}73\), \(\sqrt5\approx2{,}23\) и т. д.).

3) Так как отражённые лучи могут достичь экрана только в пределах полусферы, сдвиг фазы меняется между \(\varphi_{\max}=4\pi N+\pi\) и \(\varphi_{\min}=\pi\). Число максимумов \[m=(\varphi_{\max}-\varphi_{\min})/2\pi=2N .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.