Лазерный анемометр

Там, где пучки пересекаются, они интерферируют: возникают тонкие слои света и тени. Частица, летящая поперёк слоёв, по очереди попадает в свет и в тень. Найдите расстояние между слоями и сколько слоёв в секунду она пересекает.

\(v=\nu d=\dfrac{\nu\lambda}{2\sin(\alpha/2)}\approx0{,}20\) м/с (расстояние между интерференционными полосами \(d=\dfrac{\lambda}{2\sin(\alpha/2)}=0{,}63\) мкм).

Что происходит. В области пересечения двух когерентных пучков возникает интерференционная картина: слои с большой и малой интенсивностью света, параллельные биссектрисе угла между пучками. Частица, движущаяся поперёк биссектрисы, пересекает слои один за другим, и рассеянный ею свет то ярче, то слабее: сигнал фотоэлемента периодичен. Главная идея: за период сигнала частица проходит расстояние \(d\) между соседними максимумами, поэтому \(v=d\nu\).

Обозначения. Ось \(x\) — вдоль скорости частицы (поперёк биссектрисы), ось \(y\) — вдоль биссектрисы. Пучки — плоские волны с волновыми векторами \(\vec k_1\) и \(\vec k_2\), \(|\vec k|=2\pi/\lambda\), каждый составляет угол \(\alpha/2\) с биссектрисой.

1. Расстояние между максимумами. Фазы двух волн в точке \((x,y)\) отличаются по закону \[\Delta\varphi=(\vec k_1-\vec k_2)\cdot\vec r=2\cdot\frac{2\pi}{\lambda}\,x\sin\frac{\alpha}{2},\] потому что проекции \(\vec k_1\) и \(\vec k_2\) на ось \(y\) равны, а на ось \(x\) — равны по модулю и противоположны. Разность фаз не зависит от \(y\), поэтому максимумы — плоскости, параллельные биссектрисе (на рисунке пунктир, в точках пересечения гребней волн). Максимум там, где \(\Delta\varphi=2\pi m\): \[x_m=m\,\frac{\lambda}{2\sin(\alpha/2)}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{\lambda}{2\sin(\alpha/2)}=\frac{0{,}63\ \text{мкм}}{2\cdot0{,}5}=0{,}63\ \text{мкм}.\]

2. Скорость частицы. Частица движется равномерно поперёк слоёв, расстояние между максимумами \(d\). Рассеянный свет максимален каждый раз, когда частица в максимуме; период сигнала \(T=1/\nu\) — время прохода расстояния \(d\): \[\begin{aligned} v&=\frac{d}{T}=d\nu=\frac{\nu\lambda}{2\sin(\alpha/2)}\\ &=320\cdot10^3\ \text{Гц}\cdot0{,}63\cdot10^{-6}\ \text{м}=0{,}20\ \text{м/с}. \end{aligned}\]

Обратите внимание. Частота сигнала задаётся скоростью и расстоянием между полосами, а не частотой света \(\sim5\cdot10^{14}\) Гц: фотоэлемент следит только за медленным изменением интенсивности при пролёте частицей полос.

Проверка. Размерность: \(\text{Гц}\cdot\text{м}=\text{м/с}\). Предел \(\alpha\to0\): пучки сливаются, \(d\to\infty\), полос нет и сигнал исчезает (\(\nu\to0\)). Второй способ — эффект Доплера: частицу, движущуюся поперёк биссектрисы, свет первого пучка догоняет с проекцией скорости \(v\sin(\alpha/2)\), свет второго — с \(-v\sin(\alpha/2)\); рассеянный в сторону биссектрисы свет двух пучков имеет частоты, различающиеся на \(\Delta f=\dfrac{2v\sin(\alpha/2)}{\lambda}\), и фотоэлемент регистрирует биения именно на этой частоте: \(\nu=\Delta f\), \(v=\dfrac{\nu\lambda}{2\sin(\alpha/2)}\) — то же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.