Спутник Сириуса

Обе звезды обращаются вокруг общего центра масс, а он движется прямо. Амплитуда синусоиды — это радиус орбиты одной звезды вокруг центра масс, и её угловой размер связывает расстояние до Сириуса с угловым размером земной орбиты. Дальше — закон тяготения для обращения звёзд и то же самое для Земли вокруг Солнца.

\(\dfrac{m^3}{(M+m)^2}=\Bigl(\dfrac{\alpha}{\beta}\Bigr)^3\Bigl(\dfrac{T_{\text{З}}}{T}\Bigr)^2M_{\text{С}}\), откуда \(m\approx 1{,}0\,M_{\text{С}}\).

Что происходит. Две звезды обращаются вокруг общего центра масс по окружностям с одним периодом \(T\). Центр масс системы движется прямолинейно и равномерно, а орбиты видны «плашмя», поэтому Сириус А прочерчивает на небе волнистую линию — прямую плюс круговое смещение; её амплитуда — угловой радиус орбиты Сириуса А. Главная идея: из двух углов \(\alpha\) и \(\beta\) получить радиус орбиты \(r_A\) в радиусах земной орбиты, а затем сравнить обращение звёзд с обращением Земли вокруг Солнца: у обоих движений ключевой закон один, закон всемирного тяготения.

Обозначения. \(r_A\) и \(r_B\) — радиусы орбит Сириуса А и Сириуса В вокруг центра масс \(O\), \(a=r_A+r_B\) — расстояние между звёздами, \(D\) — расстояние до Сириуса, \(\omega=2\pi/T\) — угловая скорость обращения, \(T_{\text{З}}=1\) год.

1. Радиус орбиты Сириуса А в радиусах земной орбиты. Углы малые, поэтому угол — это отношение размера к расстоянию. Земная орбита видна с Сириуса под углом \(\beta=R_0/D\), амплитуда смещения Сириуса видна с Земли под углом \(\alpha=r_A/D\) (рисунок). Отсюда \[D=\frac{R_0}{\beta},\qquad r_A=\alpha D=\frac{\alpha}{\beta}R_0\approx 6{,}12\,R_0 .\]

2. Центр масс. Центр масс лежит на прямой, соединяющей звёзды, и делит её обратно пропорционально массам: \(Mr_A=mr_B\). Поэтому расстояние между звёздами \[a=r_A+r_B=r_A\frac{M+m}{m}.\]

3. Движение Сириуса А. Запишем второй закон Ньютона для Сириуса А: он движется по окружности радиусом \(r_A\) с угловой скоростью \(\omega\), и единственная сила — тяготение со стороны Сириуса В на расстоянии \(a\): \[M\omega^2r_A=\frac{GMm}{a^2}\quad\Rightarrow\quad \omega^2\,\frac{am}{M+m}=\frac{Gm}{a^2}\quad\Rightarrow\quad \omega^2a^3=G(M+m).\] Это третий закон Кеплера для двойной звезды.

4. Сравнение с Землёй. Для Земли вокруг Солнца тот же закон Ньютона даёт \(\omega_{\text{З}}^2R_0^3=GM_{\text{С}}\), \(\omega_{\text{З}}=2\pi/T_{\text{З}}\). Разделим шаг 3 на это равенство. Расстояние \(a\) выразим из шагов 1 и 2: \(a=\dfrac{\alpha}{\beta}R_0\dfrac{M+m}{m}\). \[\Bigl(\frac{T_{\text{З}}}{T}\Bigr)^2\Bigl(\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)^3\Bigl(\frac{M+m}{m}\Bigr)^3=\frac{M+m}{M_{\text{С}}}.\] Обозначим \(x=m/M_{\text{С}}\), \(M=2{,}3\,M_{\text{С}}\); тогда \[x^3=\Bigl(\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)^3\Bigl(\frac{T_{\text{З}}}{T}\Bigr)^2(2{,}3+x)^2=\frac{6{,}12^3}{50^2}(2{,}3+x)^2=0{,}0916\,(2{,}3+x)^2 .\] Кубическое уравнение решим подбором: при \(x=1{,}0\) левая часть равна \(1{,}00\), правая \(0{,}0916\cdot3{,}3^2=0{,}997\); при \(x=0{,}99\) левая \(0{,}970\), правая \(0{,}0916\cdot3{,}29^2=0{,}991\). Корень \(x\approx0{,}999\).

Ответ. В буквах — уравнение шага 4; в числах \(m\approx1{,}0\,M_{\text{С}}\).

Обратите внимание. Амплитуде синусоиды соответствует радиус орбиты \(r_A\) относительно центра масс, а не расстояние \(a\) между звёздами: \(a\) больше в \((M+m)/m\approx3{,}3\) раза.

Проверка. Второй способ: \(a=r_A(M+m)/m\approx6{,}12\cdot3{,}3\,R_0\approx20\,R_0\), то есть около 20 а.е.; по третьему закону Кеплера в годах и астрономических единицах \(M+m=a^3/T^2=20{,}2^3/2500\approx3{,}3\,M_{\text{С}}\), откуда \(m\approx1{,}0\,M_{\text{С}}\) — то же. Предельный случай: при \(\alpha\to0\) амплитуда исчезает, и уравнение даёт \(m\to0\), как и должно быть без спутника.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.