Катушка в мостовой схеме

Гальванометр без сопротивления соединяет две точки одним потенциалом. Токи через два резистора \(R\) при этом одинаковы. Запишите закон для напряжения на нижнем резисторе \(r\) и на катушке и сравните их.

1) \(J_\infty=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\);  2) \(q=\dfrac{\mathcal{E}L}{2r(R+r)}\), ток течёт через гальванометр от точки над катушкой к точке над правым резистором \(r\).

Что происходит. В момент замыкания ток катушки равен нулю и растёт, потому что в ней возникает ЭДС самоиндукции. Гальванометр без сопротивления — это провод: потенциалы его концов (точек \(A\) и \(B\)) всё время равны. Через него идёт ток, пока ток катушки не вышел на постоянное значение. Главная идея: условие равенства потенциалов \(A\) и \(B\) связывает ток гальванометра с скоростью изменения тока катушки, а интегрируя, получаем заряд без решения дифференциального уравнения.

Обозначения. \(A\) — узел над катушкой, \(B\) — узел над правым резистором \(r\). \(I_1\) и \(I_2\) — токи через левый и правый резисторы \(R\) вниз, \(J\) — ток через катушку вниз, \(I_\Gamma\) — ток через гальванометр от \(A\) к \(B\), \(I_r\) — ток через нижний правый резистор \(r\) вниз. Потенциал нижнего провода принимаем за нуль, потенциал верхнего провода равен \(\mathcal{E}\) (внутреннее сопротивление источника равно нулю).

Пункт 1. В установившемся режиме ток катушки постоянен, ЭДС самоиндукции \(L\,dJ/dt\) равна нулю, и катушка ведёт себя как резистор сопротивлением \(r\). Левая ветвь — резисторы \(R\) и \(r\) последовательно, правая — тоже \(R\) и \(r\), обе ветви подключены к напряжению \(\mathcal{E}\). По закону Ома для участка цепи ток в каждой ветви, в том числе через катушку, \[J_\infty=\frac{\mathcal{E}}{R+r}.\] Потенциалы \(A\) и \(B\) одинаковы (\(\mathcal{E}-I R\) с одним и тем же \(I\)), поэтому ток гальванометра в установившемся режиме равен нулю.

Пункт 2. Потенциалы \(A\) и \(B\) равны (сопротивление гальванометра нулевое), обозначим их \(V\).

Шаг 1. Закон Ома для каждого верхнего резистора \(R\): напряжение на нём \(\mathcal{E}-V\), поэтому \(I_1=I_2=\dfrac{\mathcal{E}-V}{R}\).

Шаг 2. Правило узлов для точки \(A\): \(I_1=J+I_\Gamma\); для точки \(B\): \(I_r=I_2+I_\Gamma\). Отсюда \(J=I_1-I_\Gamma\), \(I_r=I_1+I_\Gamma\).

Шаг 3. Напряжение \(V\) равно напряжению на нижнем правом резисторе: \(V=I_rr=(I_1+I_\Gamma)\,r\). С другой стороны, это напряжение на катушке: падение на её сопротивлении плюс ЭДС самоиндукции, \(V=Jr+L\dfrac{dJ}{dt}\) (положительное направление тока вниз, ЭДС самоиндукции препятствует росту тока). Подставим \(J=I_1-I_\Gamma\): \[(I_1+I_\Gamma)\,r=(I_1-I_\Gamma)\,r+L\frac{dJ}{dt}\quad\Rightarrow\quad 2rI_\Gamma=L\frac{dJ}{dt}.\]

Шаг 4. Заряд через гальванометр — интеграл тока за всё время от замыкания ключа до установления. Ток катушки растёт от \(0\) до \(J_\infty\): \[q=\int_0^\infty I_\Gamma\,dt=\frac{L}{2r}\int_0^{J_\infty}dJ=\frac{L}{2r}\,J_\infty=\frac{\mathcal{E}L}{2r(R+r)}.\] Знак: \(dJ/dt>0\), значит \(I_\Gamma>0\), ток идёт от \(A\) к \(B\) — слева направо на схеме: пока катушка не пропускает ток, часть тока левого резистора уходит через гальванометр в правую ветвь.

Обратите внимание. Гальванометр с нулевым сопротивлением не «уравновешивает мост»: мост сбалансирован лишь в установившемся режиме. В переходном процессе ток через гальванометр есть, и он определяется скоростью роста тока в катушке.

Проверка. Размерность: \(\mathcal{E}L/(rR)\) — это \(\dfrac{\text{В}\cdot\text{Гн}}{\text{Ом}^2}=\dfrac{\text{В}\cdot\text{Ом}\cdot\text{с}}{\text{Ом}^2}=\text{А}\cdot\text{с}\), то есть заряд. Второй способ: из шагов 1–3 находим \(J(t)=J_\infty(1-e^{-t/\tau})\) с \(\tau=\dfrac{L(R+2r)}{2r(R+r)}\) и \(I_\Gamma(0)=\dfrac{\mathcal{E}}{R+2r}\) при \(J(0)=0\); тогда \(I_\Gamma(t)=I_\Gamma(0)\,e^{-t/\tau}\) и \(q=I_\Gamma(0)\tau=\dfrac{\mathcal{E}L}{2r(R+r)}\) — то же. Численная проверка интегрированием уравнений при \(\mathcal{E}=1\), \(R=2\), \(r=1\), \(L=1\) даёт \(q=1/6\) в тех же единицах, и формула также даёт \(1/6\). Предел \(L\to0\): \(q\to0\), как и должно быть без самоиндукции.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.