Спуск на планету

Слой газа в равновесии: давление меняется с высотой тем быстрее, чем плотнее газ, а плотность зависит от давления и температуры. Скорость роста \(\ln p\) со временем при постоянной скорости спуска определяется температурой в этот момент.

1) \(v=\dfrac{RT_0}{\mu g}\,k_0\approx14\) м/с;  2) \(T_1=T_0\,\dfrac{k_0}{k_1}\approx 470\) К, где \(k=\dfrac{d\ln p}{dt}\) — наклон графика \(\ln p(t)\) (из графика: \(k_0\approx1{,}05\cdot10^{-3}\) с\(^{-1}\) при посадке, \(k_1\approx1{,}55\cdot10^{-3}\) с\(^{-1}\) на высоте 15 км). Точность чтения графика около 10 %.

Что происходит. Аппарат опускается равномерно, поэтому время и высота связаны линейно: \(dh=-v\,dt\). Атмосфера неподвижна, и давление на данной высоте определяется весом газа выше. В тонком слое это даёт дифференциальное соотношение между \(dp\) и \(dh\), в которое входит температура. Главная идея: наклон графика \(\ln p\) от времени пропорционален \(1/T\) в данный момент, так что в момент посадки, где температура известна, находим скорость, а по наклону графика на высоте 15 км — температуру там.

Обозначения. \(\mu=44\) г/моль — молярная масса CO\(_2\), \(t_0\) — момент посадки (конец графика), \(t_1\) — момент прохождения высоты \(h=15\) км, \(k=d\ln p/dt\).

1. Равновесие тонкого слоя. Возьмём слой газа толщиной \(dh\) и площадью сечения \(S\) на высоте \(h\). Он неподвижен, поэтому по второму закону Ньютона в проекции на вертикаль сумма сил равна нулю: давление снизу \(p(h)S\) направлено вверх, сверху \(p(h+dh)S\) и вес \(dm\,g\) — вниз. С \(dm=\rho S\,dh\): \[p(h)S-p(h+dh)S-\rho Sg\,dh=0\quad\Rightarrow\quad dp=-\rho g\,dh .\]

2. Плотность через давление. Для слоя запишем уравнение Менделеева — Клапейрона, температура внутри тонкого слоя постоянна: \(p=\dfrac{\rho}{\mu}RT\). Подставим \(\rho=\mu p/(RT)\): \[\frac{dp}{p}=-\frac{\mu g}{RT}\,dh\quad\Rightarrow\quad d\ln p=-\frac{\mu g}{RT(h)}\,dh .\] Применимо, пока атмосфера в равновесии и \(g\) почти не меняется: на 15 км отличие \(g\) порядка долей процента.

3. Переход ко времени. Аппарат опускается: \(dh=-v\,dt\). Тогда \[\frac{d\ln p}{dt}=\frac{\mu g v}{RT}\equiv k,\qquad\text{то есть}\quad T=\frac{\mu g v}{R\,k}.\] Условные единицы давления не мешают: нужен лишь наклон \(\ln p\), а он от единицы измерения не зависит.

Пункт 1. Посадка: \(t_0\approx3580\) с, \(T_0=700\) К. Наклон графика \(\ln p\) в конце: между \(t=3100\) с (\(p\approx34\)) и \(t_0\) (\(p\approx56\)) \[k_0=\frac{\ln(56/34)}{480\ \text{с}}\approx1{,}05\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}.\] Из шага 3 при \(T=T_0\) \[v=\frac{RT_0}{\mu g}\,k_0=\frac{8{,}31\cdot700}{0{,}044\cdot10}\cdot1{,}05\cdot10^{-3}\ \text{м/с}\approx13{,}2\cdot10^{3}\ \text{м}\cdot1{,}05\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}\approx14\ \text{м/с}.\]

Пункт 2. До посадки аппарат пролетал высоту 15 км за \(\Delta t=h/v=15000/13{,}9\approx1080\) с, то есть \(t_1=t_0-\Delta t\approx2500\) с. На графике \(\ln p\) в этот момент наклон: между \(t=2300\) с (\(p\approx10{,}2\)) и \(t=2700\) с (\(p\approx18{,}9\)) \[k_1=\frac{\ln(18{,}9/10{,}2)}{400\ \text{с}}\approx1{,}55\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}.\] Скорость спуска та же, поэтому из шага 3 \(T\,k=\text{const}=\mu g v/R\), откуда \[T_1=T_0\frac{k_0}{k_1}=700\cdot\frac{1{,}05}{1{,}55}\approx 470\ \text{К}.\]

Обратите внимание. Наклон \(d\ln p/dt\) нельзя брать по двум произвольным точкам далеко друг от друга: он пропорционален \(1/T\), а температура меняется с высотой. Поэтому наклон берётся на коротком участке вокруг нужного момента, а у посадки — на последнем участке графика.

Проверка. Второй способ, независимый от наклонов: от \(t_1\) до \(t_0\) давление выросло в \(56/13{,}7\approx4{,}1\) раза, \(\ln\) этого \(1{,}41\). При линейном падении температуры от \(700\) К до \(470\) К на 15 км средняя (гармоническая) температура слоя \(\Delta T/\ln(T_0/T_1)\approx580\) К, и шаг 2 даёт \(\ln\dfrac{p_0}{p_1}=\dfrac{\mu gh}{R\,\overline T}=\dfrac{0{,}044\cdot10\cdot15000}{8{,}31\cdot580}\approx1{,}37\) — совпадает с графиком в пределах 3 %. Физический смысл: у поверхности жарче, плотность падает с высотой медленнее, поэтому \(\ln p\) растёт со временем быстрее на большей высоте.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.