Муха и объектив

Свет от каждого предмета попадает в глаз только через зрачок. Проследите лучи в обратную сторону: от зрачка через объектив наружу. Где они собираются?

Может: нужно поместить предмет на оси объектива в изображении зрачка, на расстоянии \(b=\dfrac{aF}{a-F}\) от объектива (чуть дальше фокуса \(F\)). Минимальный размер \(d_{\min}\approx d\,\dfrac{F}{a-F}\); при \(F=5\) см, \(a=60\) см, диаметре зрачка \(d=4\) мм получаем \(b\approx5{,}5\) см, \(d_{\min}\approx0{,}4\) мм — меньше мухи.

Что происходит. Свет от далёких предметов, чтобы попасть в глаз, должен пройти зрачок. Лучи, идущие в зрачок, можно проследить в обратную сторону: от зрачка через объектив наружу. Объектив даёт изображение зрачка — маленькое пятно перед объективом. Все лучи, которые доходят до глаза, проходят через это пятно, откуда бы ни шёл свет. Главная идея: непрозрачный предмет, закрывающий изображение зрачка, перекрывает все лучи сразу, то есть всё поле зрения.

Модель и данные. Объектив — тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием \(F=5\) см, зрачок глаза на оси на расстоянии \(a=60\) см от объектива (вытянутая рука), диаметр зрачка \(d=4\) мм. Расстояние \(a\) больше \(F\), а предметы далеки.

1. Изображение зрачка. Для зрачка как предмета на расстоянии \(a\) запишем формулу тонкой линзы; изображение на расстоянии \(b\) с другой стороны (на рисунке слева, лучи обратимы): \[\frac1a+\frac1b=\frac1F\quad\Rightarrow\quad b=\frac{aF}{a-F}=\frac{60\cdot5}{55}\ \text{см}\approx5{,}5\ \text{см}.\] Это чуть дальше фокуса: \(b-F=\dfrac{F^2}{a-F}\approx0{,}45\) см.

2. Размер изображения зрачка. Увеличение линзы равно \(b/a=F/(a-F)\approx0{,}09\). Изображение зрачка имеет размер \[d_{\min}=d\,\frac{b}{a}=d\,\frac{F}{a-F}=4\ \text{мм}\cdot0{,}09\approx0{,}4\ \text{мм}.\]

3. Почему этого достаточно. Любой луч от далёкого предмета, прошедший зрачок, до объектива прошёл через изображение зрачка: изображение — это место, где собираются лучи, идущие из зрачка назад, а ход лучей обратим. Лучи от предметов в разных направлениях проходят через это место под разными углами, но все через одно и то же пятно (рисунок). Предмет размером не меньше \(d_{\min}\), помещённый в это пятно, заслоняет весь свет, и глаз не видит ничего — поле зрения закрыто целиком, хотя муха и размыта, ведь она далеко от плоскости, на которую глаз «настроен».

Обратите внимание. Размер мухи нужно сравнивать не с объективом (около 3 см), а с изображением зрачка (доли миллиметра). Муха, пролетающая вблизи самого объектива, закрыла бы лишь часть поля; вне нужного места — только часть лучей.

Проверка. Предел \(a\to\infty\) (глаз далеко): \(b\to F\), \(d_{\min}\to0\) — все лучи сходятся в фокусе, и точка в фокусе закрывает всё. Предел \(a\to F\): \(b\to\infty\) — изображение зрачка уходит далеко и растёт, закрыть всё поле нечем. Размер мухи (около 5 мм) в десятки раз больше \(d_{\min}\), так что условие выполнено с запасом, даже если зрачок шире или муха чуть смещена.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.