Высота шахматных фигур

Размеры (в том числе и угловые) изображений шахматных фигур, нарисованных учащимся, неизвестны, однако можно использовать любые соотношения размеров фигур и расстояний между ними на рисунке, изображающем фигуры и глаза учащегося. На рис. 20 условно показаны сами фигуры, стороны угла, под которым они видны учащемуся, а на рис. 21 — дан вид сверху на фигуры, стоящие на столе, и направления, под которыми учащийся видит фигуры тем или иным глазом.

Сначала находим соотношения между высотой \(H\) изображения фигуры на рисунке, углами \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\), под которыми наблюдателю видны фигуры, и расстояниями \(L_1\), \(L_2\) от глаз до фигур: \[\varphi_1L_1 = \varphi_2L_2 = H.\qquad (1)\] Откуда \[\dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{\varphi_1}{\varphi_2}.\qquad (2)\] Затем из рис. 21 находим соотношение между угловыми расстояниями (\(\alpha\), \(\beta\)) между фигурами, расстояниями от глаз до фигур и расстоянием между глазами наблюдателя, которое по условию равно \(\Delta = 65\) мм: \[x_{\text{л}} = \alpha L_2,\quad x_{\text{п}} = \beta L_2.\qquad (3)\]

Угол \(\gamma\), с одной стороны, равен \[\gamma = \dfrac{\Delta}{L_1},\qquad (4)\] с другой, \[\gamma = \dfrac{x_{\text{л}} - x_{\text{п}}}{L_2 - L_1}.\qquad (5)\] Приравнивая (4) и (5) друг другу, с учётом (3) получаем \[\dfrac{\Delta}{L_1} = \dfrac{L_2(\alpha - \beta)}{L_2 - L_1}.\qquad (6)\] С учётом (2) \[\dfrac{\Delta}{L_1} = \dfrac{\varphi_1(\alpha - \beta)}{\varphi_1 - \varphi_2}.\qquad (7)\] Взяв отсюда выражение для \(L_1\) и подставив его в (1), получаем \[H = \dfrac{\Delta(\varphi_1 - \varphi_2)}{\alpha - \beta}.\qquad (8)\] Углы в формуле (8) прямо пропорциональны измеряемым на рисунке с помощью измерительной линейки размерам, поэтому \(H \approx 6\) см.