Лайфхаки

В пунктах i) и ii) границы чёткого видения глаза и их изображения в линзе должны остаться на тех же расстояниях от глаза. В пункте iii) три силы, действующие на равновесный автомобиль, пересекаются в одной точке: сила тяжести, сила реакции задних колёс и равнодействующая силы реакции и трения на передних колёсах.

i) от \(10{,}0\text{ см}\) до \(16{,}7\text{ см}\);  ii) \(D_1=-8{,}15\text{ дптр}\);  iii) \(\alpha_2=33{,}3^\circ\).

i) Здоровый глаз видит от \(a_0=0{,}25\text{ м}\) до \(b_0=\infty\). Изображения, которые дают две предельные точки через контактную линзу, определяют диапазон \((a_1,b_1)\), в котором близорукий глаз может фокусироваться. Для этого используем формулу линзы: \[\frac1{a_0}+\frac1{a_1}=D_0,\] \[\frac1{b_0}+\frac1{b_1}=D_0=\frac1{b_1},\]

где \(D_0=-6\text{ дптр}\). Это даёт \[a_1=\frac1{D_0-1/a_0}=-10{,}0\text{ см},\qquad b_1=-\frac1{D_0}=-16{,}7\text{ см}.\] Из-за правила знаков в формуле линзы диапазон чёткого видения без контактных линз — от \(-a_1=10{,}0\text{ см}\) до \(-b_1=16{,}7\text{ см}\).

ii) Схема та же, только линза отодвигается от глаза на расстояние \(L=2{,}00\text{ см}\). Поскольку расположение предельных точек и их изображений относительно глаза должно остаться прежним, и предельные точки, и их изображения сдвигаются относительно стеклянной линзы на \(L\). С учётом знаков это означает, что для предельных точек требуемая оптическая сила линзы равна \[\frac1{a_1+L}+\frac1{a_0-L}=-8{,}15\text{ дптр},\] \[\frac1{b_1+L}+\frac1{b_0-L}=-6{,}82\text{ дптр}.\] Минимально необходимая оптическая сила стеклянной линзы \(D_1\) — большая (по модулю) из двух величин, следовательно, \(D_1=-8{,}15\text{ дптр}\). Можно проверить, что она действительно фокусирует бесконечность: бесконечность фокусируется на расстоянии \(-1/D_1+L=14{,}2\text{ см}\) от глаза, что вполне попадает в \((a_1,b_1)\).

iii) Пусть расстояние между передними и задними колёсами равно \(2a\), а высота центра масс над низом автомобиля — \(h\).

В случае, когда заблокированы все колёса, автомобиль ведёт себя как одно твёрдое тело, то есть условие скольжения можно записать как \(\mu=\mathrm{tg}\,\alpha_0=\mathrm{tg}\,45^\circ=1\).

Ускорение переднеприводного автомобиля ограничено сцеплением его передних колёс (то есть трением о землю) при свободно катящихся задних колёсах. Всего на автомобиль действуют четыре силы, но нормальная сила и сила трения, действующие на переднее колесо, можно объединить в одну равнодействующую силу \(\vec F_f\), направленную под углом \(\beta=\mathrm{arctg}\,\mu\) к нормали к поверхности. Кроме того, есть сила нормальной реакции задних колёс \(\vec N_b\) и, наконец, сила тяжести \(m\vec g\), приложенная к центру масс автомобиля. Силы показаны на рисунке ниже.

При критическом угле \(\alpha_1=22^\circ\) силы уравновешены. Это условие можно решить многими способами: либо «в лоб» (одно уравнение моментов и два уравнения баланса сил), либо геометрически, заметив, что три уравновешивающие друг друга силы должны пересекаться в одной точке. Это можно доказать от противного, рассмотрев момент сил относительно любой точки пересечения двух из сил. В геометрическом подходе используем то, что \(m\vec g\) вертикальна, \(\vec N_b\) перпендикулярна поверхности (то есть направлена под углом \(\alpha_1\) к \(m\vec g\)), а \(\vec F_f\) направлена под углом \(\beta\) к нормали к поверхности. Условие пересечения удобнее всего записать, выразив расстояние \(y\) от точки пересечения до поверхности двумя способами: \[y=\frac{2a}{\mathrm{tg}\,\beta}=\frac a{\mathrm{tg}\,\alpha_1}-h.\] Следовательно, \[\frac ha=\frac1{\mathrm{tg}\,\alpha_1}-\frac2{\mathrm{tg}\,\alpha_0}.\] Точно так же поступим в случае, когда автомобиль едет в гору задним ходом, при другом, пока неизвестном критическом угле \(\alpha_2\), что иллюстрирует рисунок ниже.

Записываем условие равновесия так же, как и раньше, выражая расстояние от точки пересечения до поверхности двумя способами: \[y=\frac{2a}{\mathrm{tg}\,\beta}=\frac a{\mathrm{tg}\,\alpha_2}+h.\] Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\alpha_2=\left(\frac2{\mathrm{tg}\,\alpha_0}-\frac ha\right)^{-1}=\left(\frac4{\mathrm{tg}\,\alpha_0}-\frac1{\mathrm{tg}\,\alpha_1}\right)^{-1},\] и поэтому \(\alpha_2=33{,}3^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.