Электроны в магнитном поле

Электроны, не взаимодействующие друг с другом, движутся по окружностям с одной и той же циклотронной частотой \(eB/m\). Для пунктов iv) и v) разложите движение на движение центра масс (окружность с циклотронной частотой) и вращение электрона вокруг центра масс с меньшей частотой.

i) \(u=v/\cos\alpha\), траектории — две концентрические окружности радиусов \(R_1=\dfrac{mv}{eB}\) и \(R_2=\dfrac{mv}{eB\cos\alpha}\);  ii) \(\vec u=\vec v\);  iii) \(l=\sqrt[3]{\dfrac{9km}{B^2}}\);  iv) \(T=\dfrac{4\pi m}{eB}\);  v) \(v_2=\dfrac e3\sqrt[3]{\dfrac{9kB}{m^2}}\).

i) Поскольку сила Лоренца не действует вдоль направления, параллельного \(\vec B\), условие того, чтобы электроны оставались на одном и том же расстоянии вдоль этой оси, сводится просто к равенству компонент их скоростей вдоль \(\vec B\). Далее будем рассматривать лишь движение в плоскости, перпендикулярной \(\vec B\).

Если пренебречь электростатическим взаимодействием, электроны движутся по окружностям с частотой \(\omega\), направление вращения определяется правилом правой руки; её находим из баланса центробежной силы и силы Лоренца: \[\frac{mv^2}R=mv\omega=veB,\] откуда \(\omega_0=eB/m\). Иными словами, круговая частота для обоих электронов одна и та же и не зависит от их скоростей. Получаем также выражение для радиуса круговой траектории: \(R=v/\omega_0=mv/(eB)\).

Важное следствие: угол между скоростями двух электронов со временем остаётся постоянным. Следовательно, относительная скорость двух электронов тоже постоянна по модулю (и не равна нулю!) и вращается с частотой \(\omega_0\). Чтобы относительная скорость сохраняла расстояние между электронами постоянным, вектор расстояния между двумя электронами должен быть перпендикулярен относительной скорости и, следовательно, тоже вращаться с угловой скоростью \(\omega_0\). Этого достаточно, чтобы заключить, что единственный способ выполнения этого условия — движение двух электронов по концентрическим круговым траекториям.

Условие перпендикулярности относительной скорости вектору расстояния даёт, что скорость другого электрона \(u=v/\cos\alpha\). Радиусы двух окружностей тогда \(R_1=v/\omega_0\) и \(R_2=v/(\cos\alpha\,\omega_0)\). Траектории изображены ниже.

ii) Класс решений, найденный в предыдущем пункте, не охватывает случай, когда две траектории пересекаются. Однако в предыдущем пункте предполагалось \(\alpha\ne0\). Следовательно, чтобы траектории пересекались, нужно \(\alpha=0\) и \(u=v\). Иными словами, \(\vec u=\vec v\). Это оставляет полную свободу в расположении центров двух траекторий, лишь бы они пересекались. Пример возможной траектории показан ниже.

iii) Частота периодического движения равна \(2\pi/T=eB/(3m)=\omega_0/3\), то есть трети циклотронной частоты. Теперь ясно, что простое решение, удовлетворяющее условиям равноудалённости электронов и равенства их скоростей, — это такое, где они движутся по одной и той же круговой траектории в противофазе. Объясним, почему это единственное возможное решение.

Результирующая сила, действующая на любой из электронов, должна быть перпендикулярна его скорости (иначе \(v\ne\text{const}\)). Сила Лоренца автоматически перпендикулярна скорости, следовательно, и сила Кулона тоже должна быть перпендикулярна скорости. Это означает, что вектор смещения должен быть перпендикулярен скоростям, и это в сочетании с равноудалённостью электронов даёт упомянутое выше круговое решение.

Уравнение баланса радиальных сил имеет вид \[\frac{m\omega^2l}2=evB-\frac{ke^2}{l^2},\]

где знак «минус» указывает наружу (сила Лоренца должна быть положительной, чтобы электроны не отталкивались друг от друга). Используя \(v=\omega l/2\) и подставляя \(\omega\), получаем \[\frac{e^2B^2l}{18m}=\frac{e^2B^2l}{6m}-\frac{ke^2}{l^2},\]

и поэтому \[l=\sqrt[3]{\frac{9km}{B^2}}.\]

iv) Чтобы проанализировать траектории, приведённые на рисунке, нужно базовое понимание их динамики. По сравнению с предыдущим пунктом условие покоя центра масс теперь ослаблено. Начнём в самом общем виде и запишем силы, действующие на два электрона, 1 и 2: \[m\dot{\vec v}_1=-\frac{ke^2}{l^2}\hat l+e\vec v_1\times\vec B,\] \[m\dot{\vec v}_2=\frac{ke^2}{l^2}\hat l+e\vec v_2\times\vec B,\] где \(\vec l=\vec r_2-\vec r_1\) — вектор смещения от 1 к 2, а \(\hat l\) — соответствующий единичный вектор. Сложив два уравнения, можно сократить силу Кулона: \[m(\dot{\vec v}_1+\dot{\vec v}_2)=e(\vec v_1+\vec v_2)\times\vec B.\] Это можно далее упростить, подставив скорость центра масс \(\vec v_{CM}=(\vec v_1+\vec v_2)/2\): \[m\dot{\vec v}_{CM}=e\vec v_{CM}\times\vec B.\] Это в точности повторяет уравнение движения одного электрона, то есть центр масс движется по круговой траектории с частотой \(\omega_0\), даже при наличии кулоновской силы.

Проведём аналогичный анализ для разности скоростей: \[m(\dot{\vec v}_1-\dot{\vec v}_2)=-\frac{2ke^2}{l^2}\hat l+e(\vec v_1-\vec v_2)\times\vec B.\] Подставляя скорость электрона 1 относительно центра масс \(\Delta\vec v_1=\vec v_1-\vec v_{CM}=(\vec v_1-\vec v_2)/2\), получаем \[m\Delta\dot{\vec v}_1=-\frac{ke^2}{l^2}\hat l+e\Delta\vec v_1\times\vec B,\] что вновь повторяет уравнение движения предыдущего подпункта. Явно, уравнение движения из предыдущей части было \[m\dot{\vec v}=-\frac{ke^2}{l^2}\hat l+e\vec v\times\vec B.\] Поэтому \(\Delta\vec v_1\) вращается с круговой частотой \(\omega\), которая меньше \(\omega_0\).

Итак, движение электрона — суперпозиция круговой траектории центра масс радиуса \(|\vec R_1|=R_1\) и частоты \(\omega_0\) и кругового движения электрона радиуса \(|\vec R_2|=R_2\) и частоты \(\omega<\omega_0\) вокруг центра масс. Другой электрон диаметрально противоположен относительно центра масс, на расстоянии \(R_2\) от первого электрона. \(R_1\), \(R_2\) и \(\omega\) — свободные параметры.

Теперь перейдём к графику из условия. Поскольку траектория за полный период делает одну петлю, \(\omega_0\) должна быть целым кратным \(\omega\). Если бы это было не так, то \(\vec R_1\) и \(\vec R_2\) должны были бы совершить за период более одного полного оборота, и в результате получилась бы петля, обходящая саму себя более одного раза (возможно, с самопересечением). Таким образом, \(\omega_0=N\omega\), где \(N\in\{2,3,\dots\}\) (\(N=1\) даёт окружность).

На следующем шаге рассмотрим влияние радиуса кривизны — легко наблюдаемого свойства траектории. Вообще говоря, чем больше скорость, тем больше радиус кривизны (кулоновская сила даёт постоянный вклад в радиальную силу, а сила Лоренца монотонно растёт с ростом \(v\), как и радиус \(R\)). Следовательно, точка траектории с наибольшим радиусом кривизны имеет наибольшую скорость (отмечена на рисунке буквой B), и наоборот (отмечена A). Далее, наибольшая скорость достигается, когда \(\vec R_1\) и \(\vec R_2\) параллельны, а наименьшая — когда они антипараллельны (скорости \(\omega_0R_1+\omega R_2\) и \(|\omega_0R_1-\omega R_2|\) соответственно). За полный период \(\vec R_2\) делает один оборот, а \(\vec R_1\) — \(N\) оборотов. Следовательно, \(\vec R_1\) обгоняет \(\vec R_2\) в общей сложности \(N-1\) раз, и мы ожидаем увидеть \(N-1\) случаев максимальной скорости, то есть максимального радиуса кривизны. Поскольку мы видим это один раз, \(N=2\). Это сразу даёт период движения \(T=2\pi/\omega=4\pi/\omega_0=4\pi m/(eB)\).

Из предыдущей теории \(|AB|=2R_2\), а центр \(O_1\) между A и B — это точка, где \(\vec R_1\) пересекается с осью симметрии. Другая точка, где \(\vec R_1\) пересекается с осью, — когда \(\vec R_1\) и \(\vec R_2\) перпендикулярны. Её можно найти, найдя точки (с помощью линейки), отстоящие на \(|AB|/2\) от главной оси (отметим их буквами C и D). Есть два решения, правое из которых нефизично (что видно из того, что последующие построения разваливаются). Найдя другую точку пересечения \(O_2\) (которая оказывается совпадающей с A), мы можем полностью восстановить \(\vec R_1\) (синий цвет), а отсюда легко найти центр масс, соответствующий отмеченному электрону (найдя на \(\vec R_1\) точку, находящуюся на расстоянии \(R_2\) от отмеченной точки, с помощью циркуля), и, следовательно, положение другого электрона (отразив отмеченный электрон относительно центра масс); оно отмечено голубым цветом.

Альтернативное решение. Альтернативное решение с более простыми геометрическими операциями, но более сложной алгеброй следовало бы тем же рассуждениям до \(N=2\). После этого можно показать, что два электрона следуют по одной и той же орбите, выразив положения двух электронов через комплексные числа \(z_\pm=R_1\exp(2\mathrm i\omega t)\pm R_2\exp(\mathrm i\omega t)\). Это широко применяемый метод упрощения операций с векторами. Действительная часть комплексного числа — координата \(x\), мнимая — координата \(y\). Теперь, если применить сдвиг фазы на \(\pi\) к \(\omega t\), то \(z_+\) становится \(z_-\) и наоборот. Это потому, что \(\exp(2\mathrm i(\omega t+\pi))=\exp(2\mathrm i\omega t)\cdot\exp(2\pi\mathrm i)=\exp(2\mathrm i\omega t)\) и \(\exp(\mathrm i\omega t+\mathrm i\pi)=-\exp(\mathrm i\omega t)\). Следовательно, \(z_+\) и \(z_-\) следуют по одной и той же траектории, но со сдвигом фазы \(\pi\), как нам и нужно. Теперь положение другого электрона можно просто найти, проведя окружность радиуса \(|AB|\) из первого электрона и посмотрев, где она пересекает траекторию.

v) Исходя из предыдущих рассуждений, видим, что у траектории две точки с максимальным радиусом кривизны, а значит, \(N=3\), то есть то же, что и в пункте iii). Теперь первый электрон находится в точке перегиба, где он на мгновение покоится (прежде чем кулоновская сила приведёт его в движение). Кроме того, так как это точка с наибольшей кривизной, имеем \(v_1=|\omega_0R_1-\omega R_2|=0\), то есть \(\omega_0R_1=\omega R_2\). Поскольку другой электрон диаметрально противоположен относительно центра масс, он находится в точке наибольшей скорости, то есть \(v_2=\omega_0R_1+\omega R_2=2\omega R_2\). Теперь, поскольку уравнение движения, определяющее \(R_2\), то же, что и в пункте iii) (как подчёркнуто в предыдущем подпункте), можно использовать результат оттуда: \[R_2=\frac l2=\sqrt[3]{\frac{9km}{8B^2}},\] и поэтому \[v_2=2\omega R_2=\frac{2eB}{3m}R_2=\frac e3\sqrt[3]{\frac{9kB}{m^2}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.