Ракета

Для слабого лазера хватает импульса отражённых фотонов; при \(\alpha=1\) запишите законы сохранения энергии и импульса и релятивистский инвариант. Ускорение, ощущаемое пассажирами, зависит от доплеровского сдвига фотонов в системе ракеты.

i) \(v=2\alpha c=2\times10^{-6}c\);  ii) \(v=\dfrac45c\);  iii) ускорение уменьшается в \(\dfrac{1+v/c}{1-v/c}=9\) раз.

i) (1 балл) Импульс отражённых фотонов был \(p_0=W/c=\alpha M_0c\) и после отражения стал противоположным: \(p_1=-p_0=-\alpha M_0c\); следовательно, импульс, переданный ракете, \(\Delta p=2\alpha M_0c\). В силу сохранения полного импульса импульс ракеты \(M_0v=\Delta p=2\alpha M_0c\), откуда \(v=2\alpha c\).

ii) (2 балла) Пусть конечная релятивистская масса ракеты \(M\), её импульс — \(p\), а полная масса фотонов после отражения — \(\mu\). Для удобства используем единицы, в которых \(c=1\). Тогда для релятивистского инварианта 4-импульса имеем \[p^2+M_0^2=M^2 .\] Поскольку масса покоя фотонов равна нулю, временна\'я и пространственная компоненты их 4-импульса равны, поэтому импульс фотонов \(P=\mu\). Закон сохранения импульса записывается как \[p=M_0+\mu;\] закон сохранения энергии: \[M+\mu=2M_0 .\] Последние два уравнения дают \(p=3M_0-M\). Возводя это уравнение в квадрат и комбинируя с первым уравнением, получаем \(M=\dfrac53M_0\), откуда \(\mu=2M_0-M=\dfrac13M_0\) и \(p=M_0+\mu=\dfrac43M_0\). Следовательно, скорость ракеты \(v=p/M=\dfrac45\). Возвращаясь к системе СИ, это соответствует \(v=\dfrac45c\).

iii) (2 балла) Ощущаемое ускорение пропорционально скорости передачи импульса от фотонов к ракете в системе отсчёта ракеты. Эта скорость передачи обратно пропорциональна интервалу времени между двумя последовательными фотонами и пропорциональна импульсу каждого из фотонов. Из-за эффекта Доплера оба они с ростом скорости становятся «длиннее» (больше) в доплеровский множитель раз: \[k=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}.\]

Следовательно, ощущаемое ускорение пропорционально \(k^{-2}\). Пока ракета покоится, этот множитель равен \(1\); в конце процесса он равен \[\frac{1-v}{1+v}=\frac19 .\] Поэтому ускорение уменьшается в \(9\) раз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.