Фильтр переменного тока

Выходное напряжение — разность напряжений на двух конденсаторах. Нарисуйте векторную диаграмму: векторы напряжений на \(C_1\) и на \(R\) перпендикулярны и в сумме дают \(V_0\), поэтому конец вектора лежит на окружности.

i) \(\omega_0=\dfrac1{\sqrt{LC_0}}\);  ii) \(\varphi=\arcsin\dfrac35\), \(V_{\text{вых}}=\dfrac23V_0\).

i) (2 балла) Выходное напряжение \(V_{\text{вых}}\) — разность напряжений на конденсаторах. Следовательно, чтобы \(V_{\text{вых}}\) стало бесконечным, один из токов должен стать бесконечным. Это возможно, только если импеданс нижней ветви обратится в нуль: \[\frac1{\mathrm i\omega_0C_0}+\mathrm i\omega_0L=0,\] откуда \(\omega_0=1/\sqrt{LC_0}\).

ii) (3 балла) Нарисуем векторную диаграмму для этой цепи. По сравнению со случаем \(\omega=\omega_0\) отношение импедансов катушки и конденсатора увеличилось в четыре раза. Для нижней ветви эти два импеданса раньше были равны, поэтому теперь импеданс катушки в четыре раза больше импеданса конденсатора; то же верно и для соответствующих напряжений: \(V_L=4V_{C_0}\). Два вектора напряжений антипараллельны и должны в сумме давать входное напряжение \(V_0\), следовательно, \(V_L-V_{C_0}=V_0\), откуда \(V_{C_0}=V_0/3\) и \(V_L=\dfrac43V_0\). Векторы напряжений на \(C_1\) и на \(R\) перпендикулярны друг другу и тоже должны в сумме давать входное напряжение \(V_0\), поэтому эти три вектора напряжения образуют прямоугольный треугольник. По теореме Фалеса прямой угол должен лежать на окружности, для которой входное напряжение является диаметром. Это изображено на рисунке ниже, где векторы напряжений обозначены цветами: выходное — чёрный; конденсатор \(C_1\) — голубой; конденсатор \(C_0\) — синий; катушка — красный; резистор — зелёный. Радиус окружности показан фиолетовым.

Из этого рисунка видно, что сдвиг фаз \(\varphi\) максимален, когда вектор выходного напряжения касается окружности, откуда \[\varphi=\arcsin\frac{V_0/2}{V_L-V_0/2}=\frac35,\] и \[V_{\text{вых}}=\frac{V_0/2}{\mathrm{tg}\,\varphi}=\frac23V_0 .\] Можно также решать задачу стандартным методом с помощью импедансов, но математически это значительно сложнее.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.