Яркость планет

Освещённость обратно пропорциональна квадрату расстояния, но у ближней планеты нужно ещё учесть долю освещённой части диска, видимой с Земли (фазу). Для Венеры фаза зависит от угла Солнце — Венера — Земля, который выражается через \(L\) по теореме косинусов.

i) A;  ii) \(54{,}0^\circ\);  iii) в \(25\) раз;  iv) \(\approx1{,}1\) года;  v) \(\approx3\text{ ч }4\text{ мин}\);  vi) \(\dfrac I{I_0}=-\dfrac{R_\oplus^2-R_{\text{♀}}^2}{2R_{\text{♀}}}L^{-3}+L^{-2}+\dfrac1{2R_{\text{♀}}}L^{-1}\);  vii) \(L_0=-2R_{\text{♀}}+\sqrt{3R_\oplus^2+R_{\text{♀}}^2}\approx0{,}436\text{ а.е.}\), угловое расстояние \(\approx39{,}6^\circ\).

i) Растущую молодую Луну можно увидеть сразу после захода Солнца, как показано ниже.

На рисунке: Sun — Солнце, Earth — Земля, Moon — Луна.

ii) Зенит в Таллине образует угол \(\varphi=59{,}5^\circ\) с небесным экватором. В день зимнего солнцестояния Солнце находится на \(\varepsilon=23{,}5^\circ\) ниже небесного экватора. Поскольку полнолуние бывает, когда Луна находится напротив Солнца, Луна должна быть на \(\varepsilon\) выше небесного экватора. Далее, Луна находится выше всего, когда она пересекает плоскость, образованную центром Земли, северным полюсом (отмечен NP) и лучом, направленным в зенит Таллина. Удобно представлять это так: в течение суток звёзды и планеты (вместе с Луной) остаются примерно в одном и том же положении друг относительно друга, но всё небо в целом вращается вокруг оси, образованной центром Земли и северным полюсом. Это изображено на рисунке ниже вместе с небесным экватором. Из рисунка теперь можно прочитать, что Луна находится на угле \(\varphi-\varepsilon\) от зенита, и поэтому максимальный угол кульминации равен \(90^\circ-\varphi+\varepsilon=54{,}0^\circ\).

На рисунке: NP — северный полюс, Zenith — зенит, Moon — Луна, Equator — экватор, Horizon — горизонт.

iii) Поток от объекта убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до этого объекта.

Марс ближе всего к Земле и дальше всего от неё, когда он находится на одной прямой, образованной Землёй и Солнцем. В обоих случаях Марс находится в полной фазе. В ближайшей точке Марс находится на расстоянии \(d_-=R_{\text{♂}}-R_\oplus\) от Земли, а в наибольшей — на \(d_+=R_{\text{♂}}+R_\oplus\). В обоих случаях на поверхность Марса приходит одно и то же количество солнечного света (потому что мы считаем, что Марс всегда на расстоянии \(R_{\text{♂}}\) от Солнца). Это в сочетании с одинаковыми фазами даёт для отношения освещённостей \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}}=\frac{d_+^2}{d_-^2}=\left(\frac{R_{\text{♂}}+R_\oplus}{R_{\text{♂}}-R_\oplus}\right)^2=25.\]

iv) Если смотреть с Солнца, угловое расстояние между Землёй и Марсом должно измениться от \(0\) до \(\pi\) между двумя описанными ситуациями. Относительная угловая скорость двух планет \(\Delta\omega=2\pi/T_\oplus-2\pi/T_{\text{♂}}\). Период Марса можно найти из третьего закона Кеплера как \(T_{\text{♂}}=T_\oplus\sqrt{(R_{\text{♂}}/R_\oplus)^3}\). Следовательно, затраченное время \[t=\frac\pi{\Delta\omega}=\frac{T_\oplus}2\cdot\frac1{1-(R_\oplus/R_{\text{♂}})^{3/2}}=1{,}1\text{ г}.\]

v) Максимальное угловое расстояние между Солнцем и Венерой при наблюдении с Земли можно найти как угол между лучом Земля — Солнце и лучом, который проходит через Землю и касается орбиты Венеры. Из прямоугольного треугольника получаем, что это расстояние \(\alpha=\arcsin(R_{\text{♀}}/R_\oplus)=46{,}1^\circ\). Поэтому мы видим Венеру в течение \[1\text{ сут}\cdot\frac\alpha{2\pi}=11\,050\text{ с}=3\text{ ч }4\text{ мин}.\]

vi) Как обсуждалось в пункте iii), видимая яркость планеты — это произведение её фазы \(\varphi\) (доли её площади, которая освещена) и обратного квадрата расстояния до Земли. Иными словами, \[\frac I{I_0}=\frac\varphi{L^2}.\] На рисунке ниже фаза — это просто отношение длин «видимой» и «тёмной» частей.

На рисунке: Sun — Солнце, Earth — Земля, Venus — Венера, visible — видимая (часть), dark — тёмная (часть).

Из геометрии видно, что она равна \((1+\cos\beta)/2\), где \(\beta\) — угол между Солнцем, Венерой и Землёй. По теореме косинусов \[R_\oplus^2=R_{\text{♀}}^2+L^2-2R_{\text{♀}}L\cos\beta,\] поэтому \[1+\cos\beta=1+\frac{R_{\text{♀}}^2-R_\oplus^2+L^2}{2R_{\text{♀}}L}.\] Следовательно, \[\frac I{I_0}=\frac{R_{\text{♀}}^2-R_\oplus^2}{2R_{\text{♀}}L^3}+\frac1{L^2}+\frac1{2R_{\text{♀}}L}=-\frac{R_\oplus^2-R_{\text{♀}}^2}{2R_{\text{♀}}}x^3+x^2+\frac1{2R_{\text{♀}}}x,\] где мы положили \(x=L^{-1}\).

vii) Наша цель — максимизировать \(I(x)/I_0\) на промежутке \(x\in[1/(R_\oplus+R_{\text{♀}}),\,1/(R_\oplus-R_{\text{♀}})]\). \(I(x)\) — кубический многочлен, который начинается с \(0\) при \(x=0\) и уходит в минус бесконечность при \(x\to\infty\). Экстремумы находим, приравнивая производную нулю: \[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac I{I_0}\right)=0=-3\,\frac{R_\oplus^2-R_{\text{♀}}^2}{2R_{\text{♀}}}x^2+2x+\frac1{2R_{\text{♀}}}.\] Это квадратное уравнение, решения которого \[x_\pm=\frac{2R_{\text{♀}}\pm\sqrt{3R_\oplus^2+R_{\text{♀}}^2}}{3(R_\oplus^2-R_{\text{♀}}^2)}.\]

Отрицательное решение меньше \(0\) и потому нас не интересует. Положительное решение должно соответствовать максимуму, так как функция стремится к минус бесконечности при больших \(x\). После аккуратных преобразований положительное решение упрощается до \[1/x_+=-2R_{\text{♀}}+\sqrt{3R_\oplus^2+R_{\text{♀}}^2}=0{,}436\text{ а.е.},\] что с запасом попадает в промежуток \([R_\oplus-R_{\text{♀}},\,R_\oplus+R_{\text{♀}}]\), и, следовательно, это расстояние максимальной яркости, \(L_0=1/x_+=0{,}436\text{ а.е.}\)

Максимальное угловое расстояние между Солнцем и Венерой находим по теореме косинусов: \[\alpha_0=\arccos\left(\frac{R_\oplus^2+L_0^2-R_{\text{♀}}^2}{2L_0R_\oplus}\right)=39{,}6^\circ.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.