Газ

После остановки все молекулы летят со скоростью \(v\), и их кинетическая энергия переходит в тепловую. В пункте iii) в куб попадают лишь молекулы, чьи проекции скорости на каждую ось малы, и их распределение по проекциям можно считать равномерным.

i) \(T=\dfrac{\mu v^2}{3R}\);  ii) \(P=\dfrac{2\nu\mu v^2}{V}\);  iii) \(T'=\dfrac{\mu u^2}{3R}\approx1{,}6\text{ К}\), где \(u=\dfrac{V^{1/3}}{2\tau}=100\text{ м/с}\).

i) (2 балла) Сразу после остановки все молекулы газа движутся со скоростью \(v\). В системе отсчёта ящика полная энергия молекул сохраняется, поэтому сохраняется и средняя энергия каждой из них: \(\langle T\rangle=mv^2/2\). С другой стороны, после термализации она будет равна \(\dfrac32kT\), откуда \(T=\dfrac13mv^2/k=\dfrac13\mu v^2/R\).

ii) (2 балла) Сразу после остановки все молекулы движутся к стенке с одной и той же скоростью \(v\). Следовательно, за время \(t\) о стенку ударяются молекулы из прилегающей к ней области толщиной \(vt\) и объёмом \(W=Avt\) (где \(A\) — площадь стенки). Таких молекул \(N=\nu N_aW/V=\nu N_aAvt/V\). После удара молекулы улетают от стенки с противоположной скоростью, поэтому каждая из них передаёт стенке импульс \(\Delta p_0=2mv\). Значит, полный переданный импульс \(\Delta p=N\Delta p_0=2\nu N_aAmv^2t/V\), чему соответствует давление \(P=\Delta p/At=2\nu N_amv^2/V=2\nu\mu v^2/V\).

iii) (2 балла) Быстрые молекулы покидают область запирания; запираются только молекулы, у которых \(x\)-, \(y\)- и \(z\)-компоненты скорости по модулю меньше \(u=\dfrac12V^{1/3}/\tau=100\text{ м/с}\). Это много меньше тепловой скорости \(v_T=\sqrt{RT/\mu}\approx790\text{ м/с}\). В этом диапазоне скоростей распределение Максвелла почти постоянно, поэтому можно считать, что у запертых молекул компоненты скорости равномерно распределены от \(-u\) до \(u\). Следовательно, \[\left\langle v_x^2\right\rangle=\frac1u\int_0^u u^2\,\mathrm du=\frac13u^2,\] так что полная средняя кинетическая энергия равна \(\dfrac12m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=\dfrac12mu^2\). С другой стороны, она равна \(\dfrac32kT\), откуда \(T'=\dfrac13mu^2/k=\dfrac13\mu u^2/R\approx1{,}6\text{ К}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.