Побег

Излучение распространяется практически мгновенно, а горизонтальная скорость бомбы равна скорости самолёта, поэтому прямой полёт оставляет самолёт над точкой взрыва. Чтобы уйти дальше, надо сразу после сброса поворачивать по дуге наименьшего возможного радиуса и затем лететь прямо от точки взрыва.

i) \(\varphi_{\max}=\arcsin\dfrac{k(c^2-v_0^2)}{mg}\);  ii) \(t\approx41{,}6\text{ с}\);  iii) \(R\approx1{,}6\text{ км}\), \(\alpha\approx66{,}4^\circ\);  iv) сразу выполнить поворот на угол \(\beta\approx157^\circ\) по дуге радиуса \(R\), далее лететь прямо, \(d\approx7{,}9\text{ км}\);  v) \(D\approx27{,}9\text{ км}>25\text{ км}\), самолёт успевает уйти.

i) Обозначим угол пикирования через \(\varphi\), модуль силы тяги — \(T\), модуль подъёмной силы — \(L\). Как видно ниже, подъёмная сила в решении не нужна. Силы, действующие на самолёт при пикировании, показаны на рисунке.

Для горизонтального полёта \(\varphi=0\), и из баланса горизонтальных сил \[F_d=kv_0^2=T .\] При пикировании из баланса сил, действующих вдоль траектории, \[F_d=kv^2=T+mg\sin\varphi .\] Исключая \(T\) из этих уравнений, получаем \[v^2=v_0^2\left(1+\frac{mg}{kv_0^2}\sin\varphi\right).\] Максимальный угол получается из последнего уравнения при \(v=c\): \[\varphi_{\max}=\arcsin\left(\frac{k\cdot(c^2-v_0^2)}{mg}\right).\]

ii) Скорость распространения излучения можно считать бесконечной по сравнению со скоростью самолёта. Поэтому вспышка излучения достигает самолёта в тот же момент, когда бомба взрывается. Время падения бомбы с высоты \(H\) до высоты \(h\) без сопротивления воздуха находится из \[H-h=\frac{gt^2}{2}.\] Отсюда \[t=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}\approx41{,}6\text{ с}.\]

iii) Силы, действующие перпендикулярно траектории самолёта при повороте, показаны на рисунке.

Здесь \(F_c=\dfrac{mv^2}{R}\) — центростремительная сила, \(R\) — радиус кривизны траектории. Из рисунка получаем \[L\cos\alpha=mg;\qquad L\sin\alpha=\frac{mv^2}{R}.\] Поскольку максимально допустимое отношение подъёмной силы к весу равно \(n=2{,}5\), в этом случае \[L=\frac{mg}{\cos\alpha}=nmg.\] Решая уравнения относительно \(R\) и \(\alpha\), получаем минимальный радиус кривизны и соответствующий угол крена самолёта: \[R=\frac{v^2}{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}=\frac{v^2}{g\sqrt{n^2-1}}=1606{,}0\text{ м}\approx1{,}6\text{ км};\] \[\alpha=\arccos\left(\frac1n\right)\approx66{,}4^\circ.\]

iv) Как сказано в условии, сопротивлением воздуха, действующим на бомбу, можно пренебречь. Значит, горизонтальная скорость бомбы всегда равна скорости самолёта \(v=190\text{ м/с}\). Если самолёт после сброса бомбы продолжит лететь прямо, то к моменту взрыва он окажется прямо над точкой взрыва, и между бомбой и самолётом останется лишь расстояние \(H-h=8{,}5\text{ км}\). Гипотетически лучший способ увеличить расстояние между бомбой и самолётом — мгновенно развернуться и затем лететь прямо. Это, очевидно, невозможно, но подсказывает, что самолёт должен начать поворот сразу после сброса бомбы, и поворот должен быть как можно более крутым, то есть иметь найденный ранее радиус кривизны \(R=1{,}6\text{ км}\). После поворота самолёт должен лететь прямо так, чтобы точка взрыва оказалась прямо позади него. Геометрическое построение этой траектории показано на рисунке.

На рисунке: detonation point — точка взрыва.

На рисунке \(d\) — горизонтальное расстояние, которое пролетает бомба до взрыва, \[d=vt=v\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}=7909{,}4\text{ м}\approx7{,}9\text{ км},\] а \(\beta\) — полный угол поворота. Из изображённого на рисунке прямоугольного треугольника получаем \[\beta=2\,\mathrm{arctg}\left(\frac dR\right)\approx157^\circ.\]

v) Решение 1. Пусть \(D\) — расстояние от точки взрыва до самолёта в момент, когда до него доходит ударная волна, и \(z=H-h=8500\text{ м}\). Горизонтальное расстояние от точки взрыва до самолёта можно разбить на три части, как показано на рисунке.

На рисунке \(s\) — расстояние, которое самолёт пролетает прямо после поворота и до взрыва бомбы, \[s=v\cdot(t-t_{\text{пов}})=d-R\beta=3507{,}3\text{ м},\] а \(x\) — расстояние, которое он пролетает прямо, пока распространяется ударная волна. Если время её распространения равно \(t_0\), то \(x=vt_0\) и \(D=ut_0\). Исключая \(t_0\) из этих уравнений, получаем \[x=\frac vuD.\] По теореме Пифагора \[D^2=(d+s+x)^2+z^2,\] или \[D^2=\left(a+\frac vuD\right)^2+z^2,\] где для простоты введено обозначение \(a=d+s=2d-R\beta\). Расстояние \(D\) получается из решения этого квадратного уравнения. Решение, соответствующее нашей задаче: \[D=\frac{au}{v}\cdot\frac{1+\sqrt{1+\left(\dfrac{u^2}{v^2}-1\right)\left(\dfrac{z^2}{a^2}+1\right)}}{\dfrac{u^2}{v^2}-1}\approx27{,}9\text{ км}.\] Поскольку безопасное расстояние составляло \(25\text{ км}\), самолёт успевает уйти от взрыва.

Дополнительные числовые значения: длина поворота \(R\beta=4{,}4\text{ км}\); время поворота \(t_{\text{пов}}=R\beta/v=23{,}2\text{ с}\); время полёта на расстояние \(s\): \(t-t_{\text{пов}}=41{,}6-23{,}2=18{,}4\text{ с}\); расстояние \(x\): \(x=vt_0=15{,}1\text{ км}\); полное время от сброса бомбы до удара ударной волны: \(t+t_0=121{,}3\text{ с}\); полное горизонтальное расстояние: \(d+s+x=26{,}5\text{ км}\); параметр \(a=d+s=2d-R\beta=11{,}4\text{ км}\).

Решение 2. Начало такое же, как в решении 1. Вместо прямого вычисления \(D\) можно сначала найти время распространения ударной волны \(t_0\). Имеем \[x=vt_0=190\,t_0;\qquad D=ut_0=350\,t_0;\qquad d=7909{,}4\text{ м};\qquad s=3507{,}3\text{ м}.\] Подставляя в теорему Пифагора и упрощая, получаем квадратное уравнение для \(t_0\): \[t_0^2-50{,}2\,t_0-2344{,}8=0.\] Положительное решение \(t_0=79{,}65\text{ с}\), и \(D=ut_0\approx27{,}9\text{ км}\).

Решение 3. То же, что решение 1, но уравнение Пифагора решается приближённо. В первом приближении можно взять \(z=0\). Это даёт простое линейное уравнение для \(D_1\): \[D_1=a+\frac vuD_1,\qquad a=d+s=2d-R\beta=11{,}4\text{ км},\] с решением \[D_1=\frac{a}{1-v/u}=25{,}0\text{ км}.\] Второе приближение: \[D_2=\sqrt{\left(a+\frac vuD_1\right)^2+z^2}=26{,}4\text{ км}.\] Этого достаточно, чтобы увидеть, что самолёт успевает уйти от взрыва. Третье приближение: \[D_3=\sqrt{\left(a+\frac vuD_2\right)^2+z^2}=27{,}1\text{ км}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.