Длина дня в марте и в декабре

Длина дня определяется только высотой Солнца над экватором (склонением) в этот день, а склонение за год меняется синусоидально. Скорость изменения синуса максимальна там, где синус проходит через нуль, и равна нулю на его вершинах.

В марте (и в сентябре) Солнце пересекает небесный экватор, и его склонение меняется быстрее всего, а с ним и длина дня; в декабре (и июне) склонение достигает предела, и скорость его изменения равна нулю. Для широты \(56^\circ\) с. ш.: около \(4{,}8\) мин в сутки в марте и почти нуль в декабре.

Что происходит. Ось Земли наклонена к плоскости орбиты и при обращении вокруг Солнца сохраняет направление. Поэтому Солнце в разные дни года стоит над разными широтами — над экватором в дни равноденствия и над тропиками в дни солнцестояния. Угол между направлением на Солнце и плоскостью земного экватора — склонение \(\delta\) — за год меняется от \(-\varepsilon\) до \(+\varepsilon\) (\(\varepsilon=23{,}5^\circ\) — наклон оси). Длина дня на данной широте зависит только от \(\delta\). Значит, надо понять, как быстро меняется \(\delta\) в разное время года.

Обозначения. \(t\) — время от мартовского равноденствия, \(Y\) — год, \(\varphi\) — широта места, \(T\) — длина дня.

1. Склонение Солнца. В первом приближении (круговая орбита) \(\sin\delta=\sin\varepsilon\,\sin(2\pi t/Y)\), а так как \(\varepsilon\) невелик, \(\delta\approx\varepsilon\sin(2\pi t/Y)\). Скорость изменения склонения: \[\dot\delta=\varepsilon\,\frac{2\pi}{Y}\cos\frac{2\pi t}{Y}.\] Она наибольшая по модулю при \(t=0\) и \(t=Y/2\) (март и сентябрь), где \(\cos=\pm1\), и равна нулю при \(t=Y/4\), \(3Y/4\) (июнь и декабрь), где \(\cos=0\). Максимум: \(\dot\delta=23{,}5^\circ\cdot2\pi/365\approx0{,}40^\circ\) в сутки, то есть \(0{,}0070\) рад/сут.

2. Длина дня. Половина дня \(H\) — это часовой угол восхода (в радианах): \(\cos H=-\operatorname{tg}\varphi\operatorname{tg}\delta\), полный день \(T=\dfrac{24\ \text{ч}}{\pi}H\) (рефракцию и размер диска Солнца не учитываем). Тогда \(T\) — гладкая функция \(\delta\), и скорость её изменения \(\dot T=\dfrac{dT}{d\delta}\,\dot\delta\) равна нулю там, где \(\dot\delta=0\), если \(dT/d\delta\) конечна.

3. Март и декабрь. В день равноденствия \(\delta=0\), \(H=\pi/2\), \(\dfrac{dH}{d\delta}=\dfrac{\operatorname{tg}\varphi}{\sin H\cos^2\delta}=\operatorname{tg}\varphi\). Для \(\varphi=56^\circ\): \(\dot T=\dfrac{24}{\pi}\operatorname{tg}\varphi\cdot\dot\delta\approx7{,}64\cdot1{,}48\cdot0{,}0070\ \dfrac{\text{ч}}{\text{сут}}\approx4{,}8\) мин в сутки. В декабре \(\dot\delta=0\) в день солнцестояния, то есть длина дня практически не меняется: за 10 суток вокруг солнцестояния скорость не превышает \(1{,}3\) мин в сутки. Это видно и по графику: в декабре и июне касательная горизонтальна, в марте и сентябре наклон наибольший.

Обратите внимание: причина — не расстояние до Солнца и не вытянутость орбиты (Земля ближе всего к Солнцу в начале января, но длина дня при этом от орбиты не зависит). Всё дело в наклоне оси: при \(\varepsilon=0\) было бы \(\delta\equiv0\) и \(T=12\) ч круглый год.

Ответ. Длина дня следует за склонением Солнца, которое за год меняется по синусоиде с амплитудой \(23{,}5^\circ\); скорость синуса максимальна при переходе через нуль (март, сентябрь) и равна нулю на вершинах (июнь, декабрь). Поэтому в марте день растёт быстрее всего (на широте \(56^\circ\) — на \(\approx4{,}8\) мин в сутки), а в декабре почти не меняется.

Проверка. Размерность: \(\dot\delta\) — рад/сут; \(24\) ч\(/\pi\cdot\dot\delta\) — ч/сут. Предел \(\varepsilon\to0\): \(\dot T\to0\) всегда, день всегда \(12\) ч — как и должно быть без наклона оси. Предел \(\varphi\to0\): \(\operatorname{tg}\varphi\to0\), на экваторе день круглый год \(12\) ч.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.