Вольтметр с большим током

Вольтметр не идеален: через него идёт ток. Ток через \(r_2\) делится в узле на ток через \(r_1\) и ток через вольтметр. Каждый из токов находится по закону Ома для своего участка.

\(\dfrac{I_\text{в}}{I_2}=1-\dfrac{U_1\,r_2}{(U-U_1)\,r_1}\approx0{,}20\).

Что происходит. \(r_2\) включён последовательно с блоком <<\(r_1\) параллельно вольтметру>>. Весь ток источника идёт через \(r_2\), а затем делится в узле: часть — через \(r_1\), остальное — через вольтметр. Вольтметр показывает \(U_1\) — напряжение на этом блоке, а оно же равно напряжению на \(r_1\). Сопротивление вольтметра неизвестно, но оно и не нужно: его ток находим из баланса токов в узле.

Обозначения. \(I_2\) — ток через \(r_2\), \(I_1\) — через \(r_1\), \(I_\text{в}\) — через вольтметр, \(U_2\) — напряжение на \(r_2\).

1. Напряжение на \(r_2\). Участки \(r_2\) и блок включены последовательно к источнику: \(U_2=U-U_1=100-34{,}8=65{,}2\) В.

2. Ток через \(r_2\). Закон Ома для участка \(r_2\): \(I_2=U_2/r_2=65{,}2/0{,}6\approx108{,}7\) А.

3. Ток через \(r_1\). Закон Ома для участка \(r_1\) (напряжение на нём равно показанию вольтметра): \(I_1=U_1/r_1=34{,}8/0{,}4=87{,}0\) А.

4. Ток через вольтметр. Первое правило Кирхгофа для узла \(B\) (заряд в узле не накапливается): ток, пришедший через \(r_2\), равен сумме токов через \(r_1\) и вольтметр: \(I_2=I_1+I_\text{в}\), откуда \(I_\text{в}=I_2-I_1\approx108{,}7-87{,}0=21{,}7\) А.

5. Отношение. \[\frac{I_\text{в}}{I_2}=1-\frac{I_1}{I_2}=1-\frac{U_1\,r_2}{(U-U_1)\,r_1}=1-\frac{34{,}8\cdot0{,}6}{65{,}2\cdot0{,}4}=1-0{,}8006\approx0{,}20.\]

Обратите внимание: считать вольтметр идеальным (с бесконечным сопротивлением) нельзя: он показывал бы \(U_1=U\,r_1/(r_1+r_2)=40\) В. Показание \(34{,}8\) В говорит, что вольтметр заметно шунтирует резистор \(r_1\).

Ответ. В буквах: \(\dfrac{I_\text{в}}{I_2}=1-\dfrac{U_1r_2}{(U-U_1)r_1}\); в числах: \(\approx0{,}20\) (вольтметр пропускает около пятой части тока). В книге указан ответ \(\approx0{,}004\): по той же формуле он получается при \(U_1\approx39{,}9\) В, а при напечатанных в условии \(34{,}8\) В выходит \(0{,}20\).

Проверка. Размерность: отношение токов безразмерно. Второй способ: сопротивление вольтметра \(r_\text{в}=U_1/I_\text{в}\approx34{,}8/21{,}7\approx1{,}6\) Ом; параллельное соединение \(r_1\) и \(r_\text{в}\) даёт \(0{,}4\cdot1{,}6/2{,}0\approx0{,}32\) Ом; делитель напряжения: \(U_1=U\cdot0{,}32/(0{,}32+0{,}6)\approx34{,}8\) В — сходится с условием.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.