Электронная пушка

В случае а) электрон движется по дуге окружности, хорда которой — отрезок \(TM\). В случае б) движение складывается из равномерного движения вдоль поля и вращения в перпендикулярной плоскости: электрон должен попасть в мишень, сделав целое число оборотов.

а) Если однородное магнитное поле перпендикулярно начальному направлению движения электронного пучка, электроны будут отклоняться силой, которая всегда перпендикулярна их скорости и магнитному полю. Следовательно, пучок будет отклоняться по круговой траектории. Источник центростремительной силы — сила Лоренца, поэтому \[Bev = \frac{m_e v^2}{r}. \tag{1}\] Из геометрических соображений радиус траектории удовлетворяет условию (ср. рис. 3) \[r = \frac{d}{2\sin\alpha}. \tag{2}\]

Рис. 3

Скорость электронов можно определить из соотношения между кинетической энергией электрона и работой, совершённой над этим электроном электрическим полем напряжения \(U\) внутри пушки: \[\frac12 m_e v^2 = eU . \tag{3}\] Используя (1), (2) и (3), получаем \[B = m_e\sqrt{\frac{2eU}{m_e}}\,\frac{2\sin\alpha}{ed} = 2\sqrt{\frac{2Um_e}{e}}\,\frac{\sin\alpha}{d}.\] Подставляя данные значения, имеем \(B = 3{,}70\cdot 10^{-3}\text{ Тл}\).

б) Если однородное магнитное поле ни перпендикулярно, ни параллельно начальному направлению движения электронного пучка, электроны будут отклоняться по винтовой траектории. А именно, движение электронов будет складываться из равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, и равномерного прямолинейного движения в направлении магнитного поля. Составляющая \(\vec v_1\) начальной скорости \(\vec v\), перпендикулярная магнитному полю (см. рис. 4), проявится в силе Лоренца и при движении будет равномерно поворачиваться вокруг прямой, параллельной магнитному полю. Составляющая \(\vec v_2\), параллельная магнитному полю, будет оставаться постоянной во время движения; это будет скорость равномерного прямолинейного движения.

Рис. 4

Модули составляющих скорости можно выразить как \[v_1 = v\sin\alpha, \qquad v_2 = v\cos\alpha .\] Обозначив через \(N\) число витков винтовой линии, можно записать для времени движения электрона \[t = \frac{d}{v_2} = \frac{d}{v\cos\alpha} = \frac{2\pi r N}{v_1} = \frac{2\pi r N}{v\sin\alpha}.\] Отсюда можно вычислить радиус круговой траектории \[r = \frac{d\sin\alpha}{2\pi N\cos\alpha}.\] С другой стороны, сила Лоренца должна быть равна центростремительной силе: \[Bev\sin\alpha = \frac{m_e v^2\sin^2\alpha}{r} = \frac{m_e v^2\sin^2\alpha}{\dfrac{d\sin\alpha}{2\pi N\cos\alpha}}. \tag{4}\] Следовательно, \[B = \frac{m_e v^2\sin^2\alpha\,2\pi N\cos\alpha}{d\sin\alpha\,ev\sin\alpha} = \frac{2\pi N m_e v\cos\alpha}{de}.\] Модуль скорости \(v\) снова удовлетворяет (3), поэтому \[v = \sqrt{\frac{2Ue}{m_e}}.\] Подставляя в (4), получаем \[B = \frac{2\pi N\cos\alpha}{d}\sqrt{\frac{2Um_e}{e}}.\] Численно получаем \(B = N\cdot 6{,}70\cdot 10^{-3}\text{ Тл}\). Если должно выполняться \(B < 0{,}030\text{ Тл}\), имеем четыре возможности (\(N \le 4\)), а именно: \[B_1 = 6{,}70\cdot 10^{-3}\text{ Тл}, \quad B_2 = 13{,}4\cdot 10^{-3}\text{ Тл}, \quad B_3 = 20{,}1\cdot 10^{-3}\text{ Тл}, \quad B_4 = 26{,}8\cdot 10^{-3}\text{ Тл}.\]