Цикл Отто

Для адиабат 1–2 и 3–4 пользуйтесь уравнением \(pV^\kappa = \text{const}\) вместе с уравнением состояния, для изохор — пропорциональностью давления и температуры. Работа за цикл — сумма работ на двух адиабатах, теплота подводится только на изохоре 2–3.

а) Процессы между отдельными точками описываются так:

Обозначим начальный объём цилиндра до впуска в точке 0 через \(V_1\), после впуска в точке 1 — через \(V_2\), а температуры в отдельных точках — через \(T_0\), \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) и \(T_4\).

б) Уравнения для отдельных процессов таковы.

0–1: топливовоздушная смесь всасывается в цилиндр при температуре \(T_0 = T_1 = 300\text{ К}\) и давлении \(p_0 = p_1 = 0{,}10\text{ МПа}\).

1–2: так как сжатие очень быстрое, процесс можно считать адиабатическим. Отсюда \[p_1 V_2^\kappa = p_2 V_1^\kappa \quad\text{и}\quad \frac{p_1 V_2}{T_1} = \frac{p_2 V_1}{T_2}.\] Из первого уравнения получаем \[p_2 = p_1\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^\kappa = p_1\varepsilon^\kappa ,\] а разделив одно уравнение на другое, после несложных вычислений приходим к \[T_1 V_2^{\kappa-1} = T_2 V_1^{\kappa-1}, \qquad T_2 = T_1\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\kappa-1} = T_1\varepsilon^{\kappa-1}.\] При данных значениях \(\kappa = 1{,}40\), \(\varepsilon = 9{,}5\), \(p_1 = 0{,}10\text{ МПа}\), \(T_1 = 300\text{ К}\) имеем \(p_2 = 2{,}34\text{ МПа}\) и \(T_2 = 738\text{ К}\) (\(t_2 = 465\,^\circ\text{C}\)).

2–3: так как процесс изохорный и выполняется \(p_3 = 2p_2\), можно записать \[\frac{p_3}{p_2} = \frac{T_3}{T_2}, \quad\text{откуда}\quad T_3 = T_2\frac{p_3}{p_2} = 2T_2 .\] Численно \(p_3 = 4{,}68\text{ МПа}\), \(T_3 = 1476\text{ К}\) (\(t_3 = 1203\,^\circ\text{C}\)).

3–4: расширение адиабатическое, поэтому \[p_3 V_1^\kappa = p_4 V_2^\kappa, \qquad \frac{p_3 V_1}{T_3} = \frac{p_4 V_2}{T_4}.\] Первое уравнение даёт \[p_4 = p_3\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\kappa = 2p_2\varepsilon^{-\kappa} = 2p_1 ,\] а делением получаем \[T_3 V_1^{\kappa-1} = T_4 V_2^{\kappa-1}.\] Следовательно, \[T_4 = T_3\varepsilon^{1-\kappa} = 2T_2\varepsilon^{1-\kappa} = 2T_1 .\] Численные результаты: \(p_4 = 0{,}20\text{ МПа}\), \(T_3 = 600\text{ К}\) (\(t_3 = 327\,^\circ\text{C}\)).

4–1: процесс изохорный. Обозначив температуру через \(T_1'\), можно записать \[\frac{p_4}{p_1} = \frac{T_4}{T_1'},\] откуда \[T_1' = T_4\frac{p_1}{p_4} = \frac{T_4}{2} = T_1 .\] Таким образом, мы получили правильный результат \(T_1' = T_1\). Численно \(p_1 = 0{,}10\text{ МПа}\), \(T_1' = 300\text{ К}\).

в) Термический КПД двигателя определяется как доля подведённой теплоты, которая превращается в полезную работу. Отработавший газ совершает работу над поршнем при расширении 3–4; с другой стороны, при сжатии 1–2 работа совершается над смесью. В процессах 2–3 и 4–1 газ не совершает работы и над ним работа не совершается. Теплота подводится к газу в процессе 2–3.

Полезная работа, совершаемая 1 моль газа, \[W = \frac{R}{\kappa-1}(T_1 - T_2) + \frac{R}{\kappa-1}(T_3 - T_4) = \frac{R}{\kappa-1}(T_1 - T_2 + T_3 - T_4),\] а теплота, подведённая к газу, \[Q_{23} = C_V(T_3 - T_2).\] Отсюда для термического КПД \[\eta = \frac{W}{Q_{23}} = \frac{R}{(\kappa-1)C_V}\,\frac{T_1 - T_2 + T_3 - T_4}{T_3 - T_2}.\] Так как \[\frac{R}{(\kappa-1)C_V} = \frac{C_p - C_V}{(\kappa-1)C_V} = \frac{\kappa-1}{\kappa-1} = 1 ,\] получаем \[\eta = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} = 1 - \frac{T_1}{T_2} = 1 - \varepsilon^{1-\kappa}.\] Численно \(\eta = 1 - 300/738 = 1 - 0{,}407\), \(\eta = 59{,}3\,\%\).

г) На самом деле реальная \(pV\)-диаграмма цикла гладкая, без острых углов. Так как газ не идеален, реальный КПД был бы ниже рассчитанного.