Протонный микроскоп

Магнитная сила перпендикулярна скорости и не меняет модуль импульса, поэтому форма траектории задаётся только тем, как быстро поворачивается направление скорости: это определяется отношением \(qB/p\). Требуйте его равенства для электрона и протона в каждой точке, а импульсы найдите из релятивистской связи энергии и импульса при одной и той же кинетической энергии \(eU\).

A) \(i_n'=-\dfrac{p'}{p}\,i_n\approx-35{,}0\,i_n\): токи во всех катушках надо увеличить в \(35{,}0\) раза и изменить на противоположное направление;  B) разрешающая способность увеличится примерно в \(35\) раз (длина волны де Бройля уменьшится в \(35\) раз).

Что происходит. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, поэтому магнитное поле не меняет ни модуль импульса, ни модуль скорости, а только поворачивает направление движения. Скорость поворота единичного вектора касательной вдоль пути равна \(qB/p\) (по модулю при \(\vec B\perp\vec v\)), и траектория полностью определяется этой величиной в каждой точке. Чтобы электрон и протон шли одной дорогой, нужно сохранить \(qB/p\) в каждой точке, то есть умножить поле на \(-p'/p\): поле меняет направление (заряды противоположны) и растёт в отношении импульсов. Поле катушек пропорционально токам, значит, на то же число умножаются все токи. Импульсы находим из релятивистской формулы: энергия электрона порядка его энергии покоя, классическая механика неприменима. В части B разрешающая способность задаётся длиной волны де Бройля \(\lambda=h/p\) и меняется так же, как импульс.

Обозначения. Величины электрона — без штриха (заряд \(q=-e\), импульс \(p\), поле \(\vec B\)), протона — со штрихом (заряд \(q'=+e\), импульс \(p'\), поле \(\vec B'\)). \(\vec v=v\vec\tau\) — скорость, \(\vec\tau\) — единичный вектор касательной к траектории, \(s\) — длина дуги траектории, \(E_0\) — энергия покоя, \(E_k\) — кинетическая энергия, \(E=E_0+E_k\) — полная энергия, \(\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}\).

A. Условие одинаковой траектории.

Модуль импульса постоянен. Релятивистское уравнение движения частицы с зарядом \(q\) в магнитном поле, где \(\vec p=\gamma m\vec v\): \[\frac{d\vec p}{dt}=q\,\vec v\times\vec B . \qquad(1)\] Умножим (1) скалярно на \(\vec p\). Правая часть равна нулю, так как \(\vec p\parallel\vec v\), а \(\vec v\times\vec B\perp\vec v\); с помощью указания получаем \[\frac12\,\frac{d}{dt}\,p^2=0\quad\Longrightarrow\quad p=\text{const},\ \ v=\text{const}.\] Постоянство \(v\) следует из того, что \(p=\gamma m v\) однозначно (монотонно) связан со скоростью.

Уравнение для направления движения. Так как \(v=\text{const}\), производную по времени запишем как \(\dfrac{d}{dt}=v\dfrac{d}{ds}\), а \(\vec p=p\,\vec\tau\) с постоянным \(p\). Тогда (1) принимает вид \(p\,v\,\dfrac{d\vec\tau}{ds}=q\,v\,\vec\tau\times\vec B\), откуда \[\frac{d\vec\tau}{ds}=\frac{q}{p}\,\vec\tau\times\vec B ,\qquad \frac{d\vec r}{ds}=\vec\tau. \qquad(2)\] Эта система определяет траекторию по начальной точке, начальному направлению и полю \(q\vec B/p\) вдоль пути. Заряд и импульс входят только в комбинацию \(q/p\). Начальные точка и направление у электрона и протона одинаковы (протон идёт тем же путём и в ту же сторону), поэтому траектории совпадут, если в каждой точке совпадает вектор \(q\vec B/p\) (строго говоря, на траекторию влияет только составляющая поля поперёк \(\vec\tau\), но токи катушек меняют всё поле разом, и условие на поперечную составляющую сразу даёт условие на всё поле): \[\frac{(-e)\,\vec B}{p}=\frac{e\,\vec B'}{p'}\quad\Longrightarrow\quad \vec B'=-\frac{p'}{p}\,\vec B . \qquad(3)\]

Рис. 1. Одна и та же дуга траектории. Электрон: поле \(\vec B\) направлено от нас. Протон: поле \(\vec B'=-\frac{p'}{p}\vec B\) направлено к нам и в \(p'/p\approx35\) раз сильнее. Направления скорости \(\vec v\) и силы Лоренца \(\vec F\) в каждой точке пути одинаковы (модули разные: протон движется в \(\approx26\) раз медленнее); сила направлена к центру кривизны.

Обратите внимание: приравнивать нужно не «ускорения» (\(qB/m\) или \(qB/(\gamma m)\)), а именно \(qB/p\): в релятивистской механике связь силы и ускорения тензорная (разные «массы» вдоль скорости и поперёк неё), а совпадение траекторий не требует совпадения ускорений, только совпадения кривизны и ориентации плоскости изгиба. Кроме того, (3) — векторное условие: поле должно не только изменить величину, но и перевернуться.

Токи. Поле \(\vec B\) в каждой точке — векторная сумма полей всех катушек, а поле каждой катушки пропорционально её току: \(\vec B=\sum_n i_n\,\vec b_n(\vec r)\), где \(\vec b_n\) — поле катушки \(L_n\) при единичном токе. Условие (3) для произвольной системы катушек выполнено, если поле каждой катушки умножено на \(-p'/p\), то есть \[i_n'=-\frac{p'}{p}\,i_n . \qquad(4)\]

Импульсы. И у электрона, и у протона кинетическая энергия равна \(E_k=eU=511\) кэВ \(=E_e\) (после ускорения разностью потенциалов \(\pm U\) из состояния покоя). Полная энергия и импульс связаны соотношением \(E^2=E_0^2+p^2c^2\) при \(E=E_0+E_k\). Для электрона \(E=2E_e\): \[(2E_e)^2=E_e^2+p^2c^2\quad\Longrightarrow\quad pc=\sqrt3\,E_e\approx885\ \text{кэВ},\] то есть \(\gamma=2\), \(v=\tfrac{\sqrt3}{2}c\approx0{,}87\,c\): электрон существенно релятивистский. Для протона \(E=E_p+E_e\): \[p'c=\sqrt{(E_p+E_e)^2-E_p^2}=\sqrt{E_e\,(2E_p+E_e)}=\sqrt{0{,}511\cdot(2\cdot938+0{,}511)}\ \text{МэВ}\approx31{,}0\ \text{МэВ}.\]

Рис. 2. Связь \(E^2=E_0^2+(pc)^2\) — прямоугольный треугольник с катетами \(E_0\) и \(pc\) и гипотенузой \(E\). Для электрона с \(E_k=E_0\) гипотенуза вдвое больше катета \(E_0\), угол равен \(60^\circ\), \(pc=\sqrt3\,E_0\).

Отношение импульсов: \[\frac{p'}{p}=\frac{\sqrt{E_e(2E_p+E_e)}}{\sqrt3\,E_e}=\sqrt{\frac{2E_p+E_e}{3E_e}}=\sqrt{\frac{1876{,}5}{3\cdot0{,}511}}\approx35{,}0 .\]

Рис. 3. Импульс \(pc\) в зависимости от кинетической энергии (логарифмические оси). При \(E_k=511\) кэВ значения для электрона и протона отличаются в \(35\) раз. Штрих — классическая формула \(pc=\sqrt{2E_0E_k}\): для протона она неотличима от точной, для электрона занижает импульс.

Протон при этой энергии почти классический: \(\gamma'=1+E_e/E_p\approx1{,}0005\), \(v'\approx0{,}033\,c\), и классическая формула \(p'c=\sqrt{2E_eE_p}\approx30{,}96\) МэВ отличается от точной меньше чем на \(0{,}02\,\%\).

A. Ответ. Токи нужно увеличить в \(35{,}0\) раза и изменить их направление на противоположное: \[\boxed{i_n'=-\frac{p'}{p}\,i_n\approx-35{,}0\;i_n}.\]

B. Разрешающая способность. Она определяется только волновыми свойствами частиц, поэтому наименьшее различимое расстояние \(\delta\) пропорционально длине волны де Бройля \(\lambda=h/p\). Значит, \(\delta\propto1/p\), а разрешающая способность \(\propto p\). После замены электронов протонами \(\lambda'/\lambda=p/p'\approx1/35\): \[\lambda=\frac{hc}{pc}=\frac{1240\ \text{эВ}\cdot\text{нм}}{0{,}885\ \text{МэВ}}\approx1{,}40\ \text{пм},\qquad \lambda'=\frac{hc}{p'c}\approx0{,}040\ \text{пм}.\]

Рис. 4. Длины волн де Бройля: на одной длине волны электрона укладывается \(35\) длин волн протона.

B. Ответ. Протонный микроскоп различает объекты примерно в \(35\) раз меньшие, то есть его разрешающая способность выше примерно в \[\boxed{\frac{p'}{p}\approx35}\ \text{раз}.\]

Проверка. Отношение \(B'/B\) безразмерно, \(p'/p\) безразмерно, длина волны \(hc/(pc)\) — длина. Второй способ для отношения импульсов: в нерелятивистском приближении при равной энергии \(p\propto\sqrt m\), и \(p'/p=\sqrt{m_p/m_e}=\sqrt{E_p/E_e}\approx42{,}8\). Релятивистский импульс электрона больше классического \(\sqrt{2E_eE_k}=\sqrt2\,E_e\) в \(\sqrt3/\sqrt2\approx1{,}22\) раза, поэтому в классическом отношении надо разделить на \(1{,}22\): \(42{,}8/1{,}22\approx35{,}0\), как и получено. Знак: заряды противоположны, поэтому поле переворачивается; его модуль растёт вместе с импульсом. Смысл: поворот траектории задаётся жёсткостью пучка \(p/q\), а протон при той же энергии «жёстче» электрона в \(35\) раз, поэтому поля (и токи) нужны в \(35\) раз сильнее; в то же время его волна короче в \(35\) раз, и протонный микроскоп разрешает мельче.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.