Электронный газ в магнитном поле

Так как сила Лоренца, действующая на движущийся в магнитном поле электрон, всё время направлена перпендикулярно его скорости, то электроны в цилиндре будут двигаться по дугам окружностей с радиусом \(r\). Уравнение движения электрона при этом имеет вид: \(\dfrac{mv^2}{r} = evB\), откуда \(r = \dfrac{mv}{eB} \ll R\). Следовательно, соударяться со стенкой цилиндра будут только те электроны, которые в процессе движения не удаляются от стенки цилиндра на расстояние, большее \(2r\). Рассмотрим электрон, центр «орбиты» которого находится на некотором расстоянии \(h\) от стенки цилиндра (см. рис. 3.78).

Заметим, что поскольку \(r \ll R\), то стенку цилиндра при рассмотрении процесса соударения можно считать плоской. При ударе о стенку электрон передаёт ей импульс \(\Delta p = 2mv\sin\alpha\), а происходят эти удары через промежутки времени, равные \(\Delta t = 2(\pi - \alpha)r/v\). Поэтому рассматриваемый электрон действует на стенку с силой, которая в среднем равна \[f = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{\sin\alpha}{\pi - \alpha}\cdot\dfrac{mv^2}{r}.\] Из полученной формулы видно, что сила \(f\) зависит от угла \(\alpha\) (или, что то же самое, от расстояния \(h\)), то есть на самом деле все сталкивающиеся со стенкой электроны действуют на неё с разными силами. Для того, чтобы найти силу \(f\) точно, нужно усреднить зависимость \(f(h)\) по всем возможным значениям, которые может принимать величина \(h\). Но ясно, что при таком усреднении в выражение для силы \(f_{\text{ср}}\) вместо отношения \(\dfrac{\sin\alpha}{\pi - \alpha}\) войдёт некоторый численный коэффициент \(C\), не зависящий от магнитного поля, то есть \(f_{\text{ср}} = Cmv^2/r\).

Найдём теперь давление на стенку цилиндра. Оно равно \(p = Nf_{\text{ср}}/S\), где \(N\) — количество электронов, которые сталкиваются с цилиндром, \(S\) — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как \(r \ll R\), то в соударениях принимают участие только те электроны, которые находятся в тонком цилиндрическом слое шириной \(2r\) вблизи поверхности цилиндра. Учитывая это, получим, что давление «электронного газа» на боковые стенки цилиндра при условиях задачи не зависит от \(B\) и равно \[p = \dfrac{Nf_{\text{ср}}}{S} = \dfrac{n\cdot 2rS\cdot f_{\text{ср}}}{S} = 2Cnmv^2.\]