Книжка на бревне

Пусть \(m\) — масса каждой пластинки, \(N\) — сила реакции со стороны бревна, \(\alpha\) — угол, равный половине угла раствора «книжки» (см. рис. 1.183). Запишем условие равновесия «книжки» в проекции на вертикальную ось: \[2mg - 2N\sin\alpha = 0.\]

Рассмотрим далее, например, только левую пластинку. Так как она покоится, то сумма моментов всех действующих на неё сил, вычисленная относительно оси \(O\), проходящей по линии склейки пластинок, равна нулю: \[NR\operatorname{ctg}\alpha - mg\sin\alpha\cdot\dfrac{l}{2} = 0.\] Из написанных соотношений, с учётом того, что \(l/R = 4\), получим уравнение относительно \(\operatorname{ctg}\alpha\): \[\operatorname{ctg}^3\alpha + \operatorname{ctg}\alpha - 2 = 0.\] Находящееся в его левой части выражение легко раскладывается на множители: \[(\operatorname{ctg}\alpha - 1)(\operatorname{ctg}^2\alpha + \operatorname{ctg}\alpha + 2) = 0.\] Так как второй множитель строго положителен (он представляет собой квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом), то единственному решению рассматриваемого уравнения соответствует \(\operatorname{ctg}\alpha = 1\). Следовательно, \(\alpha = 45^\circ\), и искомый угол между пластинками равен \(2\alpha = 90^\circ\).