Колёса-звёздочки

а) Ясно, что конструкция покатится при таком угле, при котором центр масс, находящийся на оси \(O\) (см. рис. 1.159.1), окажется над точкой опоры \(A\) или правее неё. Значит, искомый угол \(\alpha \geqslant 360^\circ/20 = 18^\circ\).

б) На рисунке 1.159.2 показано положение оси конструкции в начале и в конце одного её «шага» по плоскости.

Введём обозначения: радиус звёздочки \(R\), масса оси \(m\). Тогда, если в начале шага ось имела скорость \(v_1\), то в конце — скорость \(v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh}\), где \(h = 2R\sin\dfrac{\varphi}{2}\sin\alpha\) и \(\varphi = 36^\circ\). После абсолютно неупругого удара составляющая скорости оси в направлении \(O'A'\) гасится, и поэтому её скорость становится равной \(v_3 = v_2\cos\varphi\). При установившемся качении \(v_3 = v_1 = \sqrt{4Rg\sin\dfrac{\varphi}{2}\sin\alpha\operatorname{ctg}^2\varphi}\). Для того, чтобы такое качение происходило, необходимо, чтобы запас кинетической энергии \(U = \dfrac{mv_1^2}{2}\) был достаточным для преодоления осью максимальной высоты, на которую она поднимается при качении, то есть \[\dfrac{mv_1^2}{2} > mgR\left(1 - \cos\left(\dfrac{\varphi}{2} - \alpha\right)\right).\] Отсюда \[2\sin\dfrac{\varphi}{2}\sin\alpha\operatorname{ctg}^2\varphi > 1 - \cos\left(\dfrac{\varphi}{2} - \alpha\right) = 1 - \cos\dfrac{\varphi}{2}\cos\alpha - \sin\dfrac{\varphi}{2}\sin\alpha.\] Будем считать угол \(\alpha\) малым, тогда \(\cos\alpha \approx 1\), \(\sin\alpha \approx \alpha\). С учётом этого получаем, что искомый угол \[\alpha \approx \dfrac{1 - \cos\dfrac{\varphi}{2}}{\sin\dfrac{\varphi}{2}\left(1 + 2\operatorname{ctg}^2\varphi\right)} \approx 0{,}033 \approx 1{,}9^\circ.\]