Домкрат

Работа силы на рукоятке за один оборот равна изменению потенциальной энергии машины; свяжите смещение по высоте со смещением винта через геометрию ромба.

a) \(F_k\approx24\) Н;  b) \(F_1=2F_k=48\) Н.

a) Пусть \(a\) — вертикальная, а \(b\) — горизонтальная диагональ домкрата; по теореме Пифагора \(a^2+b^2=\text{const}\), откуда, дифференцируя, получаем \[2a\Delta a+2b\Delta b=0\quad\Rightarrow\quad\Delta a=-\frac{b\,\Delta b}{a}=-\operatorname{ctg}\alpha\,\Delta b.\] Здесь \(\Delta a\) и \(\Delta b\) — малые изменения высоты и ширины домкрата. При одном полном обороте рукоятки \(\Delta b=-3\) мм. Приравнивая совершённую работу \(2\pi lF_k\) (где \(l\) — длина рукоятки) изменению потенциальной энергии \(F\Delta a\), получаем \[F_k=-F\operatorname{ctg}\alpha\,\frac{\Delta b}{2\pi l}\approx24\text{ Н}.\]

Альтернативное решение. Если к рукоятке приложить момент силы \(M\), то при повороте её на малый угол \(\Delta\varphi\) совершается работа \(M\Delta\varphi\). Поскольку трения нет, эта работа должна быть равна \(F\Delta H\), где \(\Delta H\) — изменение высоты домкрата. Итак, \[M=F\frac{dH}{d\varphi}=F\times\frac{dH}{d\alpha}\times\frac{d\alpha}{dL}\times\frac{dL}{d\varphi},\] где \(L\) — расстояние между крайними шарнирными креплениями домкрата. Очевидно, \(H=2a\sin\alpha\), где \(a=17\) см. Поэтому \(dH/d\alpha=2a\cos\alpha\). С другой стороны, \(L=2a\cos\alpha\), откуда \(dL/d\alpha=-2a\sin\alpha\). Один полный оборот рукоятки приводит к изменению \(L\) на шаг винта \(h\): \(\Delta L=-(\Delta\varphi/2\pi)h\). В итоге \[M=F\times(2a\cos\alpha)\times\frac{1}{-2a\sin\alpha}\times\frac{-h}{2\pi}=\frac{Fh\operatorname{ctg}\alpha}{2\pi}.\] Обозначив длину плеча рукоятки \(l\), можем выразить искомую силу: \(F_k=\dfrac Ml=\dfrac{Fh\operatorname{ctg}\alpha}{2\pi l}\approx24\) Н.

b) Если трения нет, то работа, совершаемая при повороте рукоятки, идёт целиком на увеличение потенциальной энергии машины. Если трение есть в описанной в тексте мере, то при вращении в обратном направлении силу почти не нужно прикладывать (домкрат остаётся на границе проскальзывания), и поэтому изменение потенциальной энергии по модулю равно работе сил трения. Если вращать рукоятку в прямом направлении (для подъёма машины), то работа силы трения не меняется (по сравнению с вращением на тот же угол в обратном направлении) и поэтому по-прежнему равна изменению потенциальной энергии. Итак, по сравнению с вращением без трения нужно совершить вдвое бо\'льшую работу, т. е. прикладываемая сила должна быть ровно вдвое больше, чем в части (а). Поэтому \(F_1=2F_k=48\) Н.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.