Кольцо

В равновесии центр масс лежит на одной вертикали с точкой касания, а равнодействующая силы реакции и трения вертикальна; угол между нею и нормалью (линией от центра кольца к точке касания) не должен превышать угла трения. Найдите наибольший такой угол при вращении.

\(\mu=\dfrac1{\sqrt3}\approx0{,}58\).

Пусть центр кольца — \(O\), центр масс — \(M\), а точка касания валика и кольца — \(P\). Рассматривая равновесие моментов сил относительно точки \(P\), видим, что сила тяжести, как и все остальные силы, должна давать нулевой момент, т. е. отрезок \(PM\) должен быть вертикальным. Равнодействующая силы реакции опоры \(\vec N\) и силы трения \(\vec F_{\text{тр}}\) должна компенсировать силу тяжести и также быть вертикальной. Угол между нормалью к поверхности и названной равнодействующей силой не может быть больше \(\operatorname{arctg}\mu\), иначе началось бы скольжение. Так как нормалью является прямая \(OP\), то \(\angle OPM\le\operatorname{arctg}\mu\).

При вращении кольца \(|OP|=R\) и \(|OM|=R/2\); значит, треугольник \(OPM\) образован отрезками длиной \(R\) и \(R/2\), и поэтому угол при вершине \(P\) максимален, когда при вершине \(M\) прямой угол. В этом случае \[\mu=\operatorname{tg}\angle OPM=\frac{|MO|}{|MP|}=\frac R2\Big/\sqrt{R^2-\tfrac14R^2}=\frac1{\sqrt3}\approx0{,}58.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.