Оптическая система

Оптическая сила системы складывается из сил частей: линза, зеркало, снова линза (свет проходит линзу дважды).

\(f=\dfrac{r}{2(2n-1)}\).

Каждый падающий на систему луч преломляется на передней поверхности линзы, отражается от задней поверхности и снова преломляется. Для упрощения решения рассмотрим случай, когда ход лучей симметричен. Тогда преломлённый луч падает на зеркальную поверхность перпендикулярно, отражается прямо назад, и второе преломление идентично первому. Входящий в систему и выходящий из неё лучи пересекают оптическую главную ось в одной и той же точке \(P\). Изображение расположенного там точечного предмета совпадает с самим предметом.

Рассмотрим околоосевой луч \(PO\), для которого угол \(\angle LPO\) можно считать малым. Отрезок \(OC'\) составляет с главной оптической осью ещё меньший угол, а расстояния точек \(O\) и \(C'\) до главной оптической оси приблизительно равны. Рассмотрим подробнее тонкий слой линзы, высота которого много меньше радиуса кривизны \(r\). В этом случае криволинейные поверхности можно заменить их касательными. Перпендикуляры к поверхностям обозначены на рисунке пунктирными линиями, и они пересекают главную оптическую ось в центрах кривизны линзы. Оптическая побочная ось \(BB'\) параллельна главной оптической оси, и \(\angle LCO=\angle B'OC'=\angle A'OB'=\angle BOC=\angle AOB\equiv\varphi\), а угол преломления \(\angle A'OC'=2\varphi\). Углом падения является \(\angle AOP\). Применяя закон преломления, используем приближение малых углов: \(\dfrac{\sin(\angle AOP)}{\sin(\angle A'OC')}=n\approx\dfrac{\angle AOP}{\angle A'OC'}\), откуда \(\angle AOP=n\angle A'OC'=2n\varphi\). Для дальнейших вычислений нужно знать угол \(\angle LPO=\angle BOP=\angle AOP-\angle AOB=2n\varphi-\varphi=(2n-1)\varphi\).

Так как линза тонкая и точка \(O\) недалеко от главной оптической оси, то \(|CO|\approx|CL|\) и \(|PO|\approx|PL|\), а \(|CL|=r-\dfrac d2\approx r\), где \(d\) — толщина линзы в центре. Снова используя приближение малых углов, получаем \(|LO|\approx\angle LCO\,|CL|\approx\angle LPO\,|PL|\), откуда \(|PL|\approx\dfrac{\angle LCO}{\angle LPO}\,|CL|=\dfrac{\varphi}{(2n-1)\varphi}\,r=\dfrac{r}{2n-1}\). Наконец, применяем формулу линзы \(\dfrac1a+\dfrac1k=\dfrac1f\) и соотношение \(|PL|=a=k=\dfrac{r}{2n-1}\) и получаем, что \(f=\dfrac{|PL|}2=\dfrac{r}{2(2n-1)}\).

Альтернативное решение. Ход светового луча можно разделить на три части: преломление в двояковыпуклой линзе, отражение от вогнутого зеркала и снова преломление в двояковыпуклой линзе. Известно, что оптическая сила системы равна сумме оптических сил отдельных частей. Оптическая сила двояковыпуклой линзы по формуле изготовителя линз \(D_1=(n-1)\dfrac2r\). Фокусное расстояние вогнутого зеркала с радиусом кривизны \(r\) равно \(\dfrac r2\), а оптическая сила поэтому \(D_2=\dfrac2r\). В итоге получаем \[D=2D_1+D_2=\frac{2(2n-1)}{r}\quad\Rightarrow\quad f=\frac1D=\frac{r}{2(2n-1)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.