Солнечная батарея

Мощность на резисторе — произведение \(U\) и \(I\) в точке графика; нужна точка максимума этого произведения (или точка, где касательная к графику делит отрезок между осями пополам), а сопротивление равно \(U/I\) в ней.

\(R\approx6{,}9\) Ом (при \(U\approx2{,}28\) В и \(I\approx0{,}33\) А).

Первое решение. Нужно найти по графику пары значений силы тока и разности потенциалов. Выделяющаяся на потребителе мощность — их произведение. Далее находим на графике точку, соответствующую максимальной мощности \((U_{\max},I_{\max})\). Мощность на потребителе максимальна, когда падение напряжения на нём равно разности потенциалов, соответствующей максимуму мощности, а сила тока та же: \[R=\frac{U_{\max}}{I_{\max}}.\] Этим методом для солнечной батареи, соответствующей графику, получаем оптимальное сопротивление потребителя примерно \(6{,}9\) Ом (напряжение \(\sim2{,}28\) В и сила тока \(\sim0{,}33\) А).

Второе решение.

Мощность \(N=UI\) максимальна, когда изменение мощности \(\Delta N\) при малом изменении напряжения \(\Delta U\) равно нулю. \[\Delta(UI(U))=(U+\Delta U)\,I(U+\Delta U)-UI(U)=\] \[=(U+\Delta U)\bigl(I(U)+\Delta I(U)\bigr)-UI(U)\ \overset{\Delta I\,\Delta U\approx0}{\approx}\ \Delta U\,I+U\,\Delta I.\] (Те же рассуждения приводят к формуле производной произведения, которой мы могли бы здесь воспользоваться сразу.) \(\Delta N=0\Longrightarrow I+U\dfrac{\Delta I}{\Delta U}=0\). Величина \(\dfrac{\Delta I}{\Delta U}\) при малом \(\Delta U\) приближается к наклону касательной к графику. Взяв \(I\), \(U\) и \(\dfrac{\Delta I}{\Delta U}\) в точке касания \(P\), получаем в обозначениях рисунка, что \(|OC|=I\), \(|CP|=U\) и \(\dfrac{|OA|}{|OB|}=\dfrac{|CA|}{|CP|}=-\dfrac{\Delta I}{\Delta U}\). Следовательно, если мы хотим, чтобы \(P\) была искомой точкой максимума мощности, должно выполняться \[|OC|-|CP|\,\frac{|CA|}{|CP|}=0\ \Longrightarrow\ |OC|=|CA|\ \Longrightarrow\ |AP|=|PB|.\] Немного поискав с помощью линейки, такую точку \(P\) найти нетрудно. Ответ, конечно, тот же, что и в первом решении.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.