Резиновое кольцо на стержне

Разобьём кольцо на маленькие участки, такие, что \(\alpha R \to 0\) (см. рисунок).

Тогда для каждого участка сумма сил натяжения кольца \(T\) и реакции стержня \(N\) равна нулю, откуда \(2T\cdot\sin\alpha/2 = N\). Поскольку участки маленькие, то \(\alpha T = N\). Тогда сила трения скольжения, действующая на такой участок при сдвигании кольца, равна \(f_{\text{тр}} = \mu N = \mu\alpha T\). Суммируя силы трения, действующие на каждый из этих участков, вдоль всей окружности, получаем, что общая сила трения \(F_{\text{тр}} = \sum\limits_i (f_{\text{тр}})_i = \mu T\sum\limits_i\alpha_i = 2\pi\mu T\).

Таким образом, чтобы сдвинуть кольцо вдоль стержня без вращения, нужно действовать на него с силой \(F \geqslant F_{\text{тр}} = 2\pi\mu T\).