Из Анискино в Борискино

Обозначим расстояние от А до Б через \(S\), а скорость течения реки через \(u\). Скорость движения лодки с одним мотором относительно воды обозначим через \(v\). Поскольку при установке на лодку двух моторов сила тяги вырастает вдвое, а сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения лодки относительно воды, то скорость движения лодки с двумя моторами относительно воды равна \(\sqrt2v\). Из условия задачи не известно, какой из населённых пунктов — А или Б — находится выше по течению реки. Поэтому нужно проверить два варианта:

1) А находится выше по течению; 2) Б находится выше по течению.

Для первого варианта имеем уравнения: \[\dfrac{S}{u + v} = t_1,\quad \dfrac{S}{u + \sqrt2v} = t_2 = \dfrac{t_1}{2}.\qquad(1)\] Для второго варианта: \[\dfrac{S}{v - u} = t_1,\quad \dfrac{S}{\sqrt2v - u} = t_2 = \dfrac{t_1}{2}.\qquad(2)\] Для варианта (1), разделив одно уравнение на другое, получим: \[\dfrac{u + \sqrt2v}{u + v} = 2,\quad\text{откуда}\quad\dfrac{u}{v} = \sqrt2 - 2 < 0.\] Так как \(u\) и \(v\) положительны, то отсюда следует, что система (1) не имеет решения. Значит, Анискино (А) находится ниже по течению, чем Борискино (Б). Из системы (2), поделив уравнения друг на друга, получаем: \[\dfrac{u}{v} = 2 - \sqrt2.\] Чтобы найти время движения из Б в А на лодке с одним или двумя моторами, нужно вычислить величины: \[t_3 = \dfrac{S}{u + v}\quad\text{и}\quad t_4 = \dfrac{S}{u + \sqrt2v}.\qquad(3)\] Выражая из (2) \(S\) через \(t_1\) и подставляя в (3), получаем: \[t_3 = \dfrac{1 - (u/v)}{1 + (u/v)}\cdot t_1 = \dfrac{\sqrt2 - 1}{3 - \sqrt2}\cdot t_1 \approx 13{,}06\text{ мин}\] — время движения с одним мотором; \[t_4 = \dfrac{1 - (u/v)}{\sqrt2 + (u/v)}\cdot t_1 = \dfrac{\sqrt2 - 1}{2}\cdot t_1 \approx 10{,}35\text{ мин}\] — время движения с двумя моторами.