Система блоков с тремя грузами

Направим координатную ось \(X\) вертикально вниз (см. рис. 1.56). Тогда, если координаты тяжёлой оси блока, первого груза и второго груза равны \(x\), \(x_1\) и \(x_2\) соответственно, условие нерастяжимости нити имеет вид: \[x_1 + 2x_2 - x = L = \text{const}.\]

Это соотношение справедливо для любых двух близких моментов времени \(t\) и \(t + \Delta t\), откуда следует связь изменений координат за время \(\Delta t\): \[\Delta x_1 + 2\Delta x_2 - \Delta x = 0.\] Деля полученное уравнение на \(\Delta t\), находим связь скоростей грузов и блока: \[v_1 + 2v_2 - v = 0.\] Повторяя описанную процедуру, получаем соотношение, связывающее проекции ускорений первого груза, второго груза и тяжёлой оси блока на ось \(X\): \[a_1 + 2a_2 - a = 0.\] Обозначим через \(T\) силу натяжения нити, прикреплённой к первому грузу и тяжёлой оси блока (сила натяжения постоянна вдоль нити, так как нить невесома). Тогда уравнения движения грузов и оси блока, спроецированные на координатную ось \(X\), имеют вид: \[m_1a_1 = m_1g - T,\quad m_2a_2 = m_2g - 2T,\quad ma = mg + T.\] Решая совместно четыре последних уравнения, получаем: \[a_2 = \dfrac{(m + m_1)m_2}{m(4m_1 + m_2) + m_1m_2}\,g.\]