Ускорение оси блока

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке крепления нити к потолку, направим координатную ось \(X\) вниз и запишем уравнения движения грузов \(m_1\), \(m_2\) и блока \(A\) в проекциях на эту ось (см. рис. 1.54). Учтём при этом, что ввиду невесомости нити и блоков сила натяжения \(T\) по всей её длине одинакова.

\[m_1a_1 = m_1g - 2T,\quad m_2a_2 = m_2g - T,\quad F = 2T.\] Здесь \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения грузов \(m_1\) и \(m_2\) соответственно.

Для того, чтобы решить данную систему, необходимо получить уравнение, связывающее эти ускорения — уравнение кинематической связи. Это можно сделать, воспользовавшись нерастяжимостью нити. Обозначим координаты оси нижнего блока, груза \(m_2\) и оси верхнего блока через \(x_1\), \(x_2\) и \(x_A\) соответственно. Тогда длина нити \(L\) выразится следующим образом: \[L = x_1 + \pi R_1 + (x_1 - x_A) + \pi R_2 + (x_2 - x_A).\] Отметим, что радиусы нижнего и верхнего блоков \(R_1\) и \(R_2\) являются постоянными величинами. Данное соотношение справедливо для любого момента времени.

Пусть за малый промежуток времени \(\Delta t\) координаты оси нижнего блока, груза \(m_2\) и оси верхнего блока изменились и стали равны \(x_1'\), \(x_2'\) и \(x_A'\) соответственно. Тогда можно записать: \[L = x_1' + \pi R_1 + (x_1' - x_A') + \pi R_2 + (x_2' - x_A').\] Вычитая друг из друга два последних уравнения, деля разность на \(\Delta t\) и учитывая, что отношение \((x' - x)/\Delta t\) представляет собой скорость, найдём связь между скоростями оси нижнего блока, груза \(m_2\) и оси верхнего блока: \(2v_1 + v_2 = 2v_A\). Рассматривая аналогичным образом малые изменения скоростей за время \(\Delta t\), можно убедиться, что ускорения \(a_1\) и \(a_2\) и \(a_A\) связаны аналогичным соотношением: \[2a_1 + a_2 = 2a_A.\] Это и есть уравнение кинематической связи.

Решая уравнения движения с учётом полученного уравнения кинематической связи, найдём ускорение оси верхнего блока: \[a_A = \dfrac{3}{2}g - \dfrac{m_1 + 4m_2}{4m_1m_2}F.\] Отметим, что при некоторых соотношениях величин \(m_1\), \(m_2\) и \(F\) (в частности, при очень малых \(F\)) ускорение точки \(A\) может быть больше ускорения свободного падения \(g\). Это связано с тем, что блок невесо́м, и на него действуют силы \(F\) и \(2T\), равные в сумме нулю, так что его ускорение может быть как меньше, так и больше \(g\).